Série entière au bord
Bonjour, je cherche des résultats sur les limites des séries entières au bord du disque de convergence. Par exemple, je sais que la série entière $$\sum_{n\geq1} (-1)^n nx^n$$ a pour rayon de convergence 1. De plus, elle diverge sur tout le disque de convergence puisque le terme général de la série ne converge alors pas vers 0.
Mais en traçant le graphe de la somme de la série entière sur un logiciel, j'ai l'impression qu'il y a une limite finie en 1 (qui n'est évidemment pas la somme de la série "en faisant x = 1") et une limite $+\infty$ en -1 mais je ne vois pas comment prouver cela.
Plus généralement, est-ce que dans mon exemple, on peut étudier la limite quand x tend vers $e^{i\theta}$ ? Ensuite, je sais qu'il n'existe pas de résultats complètement généraux sur ce qu'il se passe sur le bord du disque de convergence d'une série entière, mais est-ce qu'on a des conditions suffisantes (ou nécessaires d'ailleurs) pour qu'une série entière admette une limite sur un de ces points ?
Mais en traçant le graphe de la somme de la série entière sur un logiciel, j'ai l'impression qu'il y a une limite finie en 1 (qui n'est évidemment pas la somme de la série "en faisant x = 1") et une limite $+\infty$ en -1 mais je ne vois pas comment prouver cela.
Plus généralement, est-ce que dans mon exemple, on peut étudier la limite quand x tend vers $e^{i\theta}$ ? Ensuite, je sais qu'il n'existe pas de résultats complètement généraux sur ce qu'il se passe sur le bord du disque de convergence d'une série entière, mais est-ce qu'on a des conditions suffisantes (ou nécessaires d'ailleurs) pour qu'une série entière admette une limite sur un de ces points ?
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Réponses
f(x)\geq F_N(x) = F_N(1)+(F_N(x)-F_N(1)).
$$ Le premier terme tend vers l'infini quand $N$ tend vers l'infini et le second est borné par continuité de $F_N$, donc la limite st bien $+\infty$
$$ Il me semble qu'on ne peut pas calculer mais numériquement il y a l'air d'y avoir une limite en 1. Peut-on la calculer ?
Il existe une réciproque partielle, appelée théorème taubérien (il y en a en fait toute une famille) : si $a_n = o(1/n)$ et si $x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ admet une limite quand $x$ tend vers $1^-$ alors $\sum_n a_n$ converge vers cette limite. Par contraposée, si la série des $a_n$ diverge alors la fonction somme n'admet pas de limite en $1^-$.
Quand on ne peut pas sortir l'artillerie, on peut parfois s'en sortir à l'aide d'encadrements ou d'une transformation d'Abel...
Pour le théorème taubérien que tu cites, la contraposée peut aussi dire que $a_n$ n'est pas un $o(1/n)$ (et évidemment c'est le cas sur mon exemple).
Pour les encadrements, je crains que le $(-1)^n$ soit très gênant. Je n'avais pas pensé à la transformation d'Abel, je teste ça
Une méthode consiste à multiplier par $1+x$ et en récrivant la somme différemment, montrer qu'il y a une limite en 1.
Ensuite, on calcule la limite en calculant explicitement les sommes partielles.
Donc j'ai essayé avec ta première indication (c'est un exo des Mines) et je l'ai trouvé dans un bouquin :-D Je n'avais pas pensé à écrire $\ln(1+1/n)$ à l'aide d'un développement limité avec la partie négligeable qui va faire converger la série entière en 1. Je n'ai pas encore tout regardé pour essayer de le faire avec cette indication supplémentaire. Et j'ai la correction du bouquin si je sèche trop longtemps.