Calcul intégral

YunVln
YunVln
dans Analyse
Bonjour,
j'ai quelques difficultés à finir un exercice d'intégration, je vous transmets donc l'énoncé de celui-ci et ce que j'ai pu faire dans l'espoir que quelqu'un puisse me guider.

e^(5x)*cos(x)dx

J'ai donc par faire fait une intégration par partie avec u= e^5x et v = cos(x)
Donc :
= e^5x*sin(x) - intégral de e^5x * 5sin(x)dx
= e^5x*sin(x) -5*intégral de e^5x * sin(x)dx

Je refais donc une intégration par partie avec u = e^5x et v = sin(x)

= e^5x-5(-e^5xcos(x) - integral de -5e^5xcos(x)dx
= e^5x*sin(x) - 5(-e^5x*cos(x) - (-5*intégrale de e^5xcos(x)dx

Je cherchais ensuite à isoler l'intégrale de e^5xcos(x)dx, mais je n'y arrive malheureusement pas, en espèrent que quelqu'un voit mon message !
Merci d'avance.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Je n'ai pas vérifié tous tes calculs, et il me semble que tu cherches une primitive plutôt qu'un calcul d'intégrale puisque tu ne précises pas de bornes et qu'il n'y a pas de "termes de bord" dans tes IPP, mais j'ai l'impression que tu es arrivé à quelque chose de la forme $I = F + 5 I$, où $I$ est ton "intégrale" de départ et $F$ correspond aux "termes de bord". Tu as donc immédiatement $I = - \frac{F}{4}$.
  • YunVln
    YunVln
    Oui, autant pour moi c'est plutôt une primitive !
    D'accord mais dans ce cas à quoi correspondrait mes "termes de bord puisque je n'en ai pas ?
    Merci de votre réponse.
  • Poirot
    Poirot
    Et ton $e^{5x} \sin(x) + 5 e^{5x} \cos(x)$ c'est quoi alors ? Au passage tu as plutôt $I=F - 5 I$ en fait (il y a trois signes $-$ imbriqués et deux parenthèses non fermées).
  • YunVln
    YunVln
    Donc si j'ai bien compris :

    intégrale de e^(5x) * cos(x) dx = e^(5x)sin(x)+5e^(5x)cos(x)-5(e^(5x)*cos(x))

    et ensuite ma résolution est terminée ?
  • _Julien_
    _Julien_
    Sans IPP : $\int e^{5x}\cos(x) d x = \Re (\int e^{5x}e^{ix} d x ) = \ldots $
  • Poirot
    Poirot
    Non tu n'as pas compris tu as fait disparaître un symbole d'intégrale à droite. Je te suggère de refaire tes calculs avec une vraie intégrale de $0$ à $x$ par exemple, et tu verras que tu as tout ce qu'il te faut pour conclure.

    Il y a bien sûr d'autre manières de faire ce calcul, comme le suggère _Julien_. On peut aussi utiliser la formule d'Euler $$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}.$$
  • _Julien_
    _Julien_
    a écrit:
    maths.net

    Avec les IPP, tu devrais arriver à cette étape :

    $\int e^{5x} \cos(x) dx = e^{5x} \sin(x)+5e^{5x} \cos(x)-25 \int e^{5x} \cos(x) dx +C $, où $ C \in \mathbb \R$.

    Puis tu utilises les remarques de @Poirot.
  • YunVln
    YunVln
    D'accord, merci beaucoup de votre aide, je pourrais effectivement utiliser 0 et x en termes de bord, ce qui m’embête c'est qu'ils n’apparaissent pas sur mon énoncé, c'est peut être volontaire.
    Je vais essayer avec la formule d'Euler, ce sera peut-être plus simple, je ne comprends pas pourquoi en faisait les IPP que j'ai faites je n'obtiens pas ce que vous trouvez vous !
  • _Julien_
    _Julien_
    Il faut revoir les notations sur l'ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle; dans ce cas, on peut omettre les bornes. Si on met les bornes de 0 à $x$ alors il s'agit de l'unique primitive qui s'annule en 0.

    Si tu as obtenu la même chose mais il y a un facteur 5 que tu as oublié de développer dans la 2ème IPP.
  • YunVln
    YunVln
    Donc simplement en reprenant ma deuxième IPP, je peux trouver la solution et finir avec ceci :
    $\int e^{5x} \cos(x) dx = e^{5x} \sin(x)+5e^{5x} \cos(x)-25 \int e^{5x} \cos(x) dx +C , $ où $ C \in \mathbb \R$.
  • _Julien_
    _Julien_
    Oui, ensuite tu appliques la remarque de @Poirot. $I = F - 25 I$ donc $I = ...$
  • YunVln
    YunVln
    Merci, mais je n'arrive pas à voir ou j'ai oublié un facteur 5 dans ma deuxième IPP j'ai beau la refaire je ne trouve pas.
    Il me suffira simplement de remplacer ou il faut que je résolve l'équation ?
  • _Julien_
    _Julien_
    Tu as toutes les indications pour conclure et il est important que tu trouves à présent toutes les étapes restantes tout seul. Pour les IPP, refais-les jusqu'à trouver le bon résultat.
  • YunVln
    YunVln
    Pas de soucis, je finirai bien par trouver !
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