Prouver que g(x) > x... avec g compliquée
Bonjour
Comment prouver que $g(x) >x $ pour $x \in\, ]0,1/3[$ avec $$
g(x)=\frac{\left(9 x^2+1\right) \cosh ^{-1}\Big(\frac{36 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)}{\left(9 x^2+1\right)^2}\Big) \sqrt{81 x^4+54 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)+1}}{2 \sqrt{2} \pi \cosh (\pi x)} \\
+\frac{18 \sqrt{2} x^2 \left(9 \pi x^3+4 \tanh (\pi x)\right)}{2 \sqrt{2} \pi }\qquad?
$$ J'arrive à prouver que : $$
g(x)>\frac{\left(9 x^2+1\right) \cosh ^{-1}\Big(\frac{36 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)}{\left(9 x^2+1\right)^2}\Big) \left(1- 9 x^2\right)}{2\pi }+\frac{18 \sqrt{2} x^2 \left(9 \pi x^3+4 \tanh (\pi x)\right)}{2 \sqrt{2} \pi } = g_p(x)
$$ et il semble que cette fonction soit elle-même supérieure ou égale à $x$.
Mais je n'arrive pas à minorer $$
\cosh ^{-1}\Big(\frac{36 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)}{\left(9 x^2+1\right)^2}\Big)
$$ de manière suffisamment fine. Cette fonction ressemble à une parabole. J'ai aussi noté que $ 36 x^2 = (1+9 x^2)^2 - (1-9 x^2)^2$... mais sans aller beaucoup plus loin.
Auriez-vous une idée ?
Merci !
Comment prouver que $g(x) >x $ pour $x \in\, ]0,1/3[$ avec $$
g(x)=\frac{\left(9 x^2+1\right) \cosh ^{-1}\Big(\frac{36 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)}{\left(9 x^2+1\right)^2}\Big) \sqrt{81 x^4+54 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)+1}}{2 \sqrt{2} \pi \cosh (\pi x)} \\
+\frac{18 \sqrt{2} x^2 \left(9 \pi x^3+4 \tanh (\pi x)\right)}{2 \sqrt{2} \pi }\qquad?
$$ J'arrive à prouver que : $$
g(x)>\frac{\left(9 x^2+1\right) \cosh ^{-1}\Big(\frac{36 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)}{\left(9 x^2+1\right)^2}\Big) \left(1- 9 x^2\right)}{2\pi }+\frac{18 \sqrt{2} x^2 \left(9 \pi x^3+4 \tanh (\pi x)\right)}{2 \sqrt{2} \pi } = g_p(x)
$$ et il semble que cette fonction soit elle-même supérieure ou égale à $x$.
Mais je n'arrive pas à minorer $$
\cosh ^{-1}\Big(\frac{36 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi x)}{\left(9 x^2+1\right)^2}\Big)
$$ de manière suffisamment fine. Cette fonction ressemble à une parabole. J'ai aussi noté que $ 36 x^2 = (1+9 x^2)^2 - (1-9 x^2)^2$... mais sans aller beaucoup plus loin.
Auriez-vous une idée ?
Merci !
Réponses
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Ca fait envie :-D
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Namiswan
Surtout si l'on commence à vouloir calculer les dérivées ! ;-)
[Inutile de recopier le dernier message. AD] -
Ça reste quand même une question mathématiques.
Moi je n'ai pas la force et le courage pour m'y aventurerLe 😄 Farceur -
gebrane
J'avoue que ce genre de question n'est pas ma tasse de thé habituellement... mais je me suis attaché à celle-là ! J'ai fait un peu de sympy pour voir la tête des bestioles et essayer de trouver des minorations. Il y a peut-être des astuces en utilisant la trigonométrie hyperbolique ?!?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Je me suis peut-être trompé en détexifiant ces expressions ignobles mais le graphe ci-dessus est censé représenter la différence entre le membre de gauche et le membre de droite. Pas prometteur.
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Je trouve cela de mon côté comme graphe pour $g(x) - g_p(x)$:
Programme sympy:from math import pi, sqrt as msqrt from sympy.functions.elementary.hyperbolic import acosh, tanh, cosh from sympy.plotting import plot from sympy import symbols, sqrt, Pow sqrt2 = msqrt(2) two_sqrt2_pi = 2 * sqrt2 * pi x = symbols('x') cosh2pix = cosh(2 * pi * x) g11_x = 9.0 * Pow(x, 2) + 1.0 g111_x = Pow(1.0 - 9.0 * Pow(x, 2), 2) * cosh2pix g12_x = acosh((36.0 * Pow(x, 2) + g111_x) / Pow(9.0 * Pow(x, 2) + 1.0, 2)) g13_x = sqrt(81.0 * Pow(x, 4) + 54.0 * Pow(x, 2) + g111_x + 1) g1_x = g11_x * g12_x * g13_x / (two_sqrt2_pi * cosh(pi * x)) g1p_x = g11_x * g12_x * (1.0 - 9.0 * Pow(x, 2)) * sqrt2 / two_sqrt2_pi g2_x = (9.0 / pi * Pow(x, 2)) * (9 * pi * Pow(x, 3) + 4.0 * tanh(pi * x)) g2_over_x = g2_x / x print(g2_over_x.subs(x, 0.17)) g_x = g1_x + g2_x gp_x = g1p_x + g2_x g_minus_x = g_x - x gp_minus_x = gp_x - x plot(g_x - gp_x, (x, 0, 1 / 3.0)) # from sympy import series # sx = series(g_x, x, 0, 4, "+") # print(sx) -
En utilisant l'inégalité $\textrm{argch}(1+x) \geqslant x$ valide pour tout $x \in \left[ 0 \, ; \, 1,6161 \right]$ et un bon calculateur formel, on a $g_p(x) \geqslant h(x) > x$ pour $x \in \left[0,149 \, ; \, \frac{1}{3} \right]$ pour une certaine fonction $h$, toujours difficile à étudier "à la main".
-
En fait, pourquoi garder le deuxième terme de la somme, qui est le même, et tous les facteurs communs dans le premier terme ? Ce qu'il faut, c'est comparer \[\frac{\sqrt{81 x^4+54 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi
x)+1}}{\sqrt2\cosh (\pi x)}\ \text{et}\ 1-9x^2,\]ce qui donne le résultat ci-dessous et contredit le graphe ci-dessus... -
$$\begin{aligned}
\frac{\sqrt{81 x^4+54 x^2+\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi
x)+1}}{\sqrt2\cosh (\pi x)} &\ge \frac{\sqrt{\left(1-9 x^2\right)^2 \cosh (2 \pi
x)+\left(1-9 x^2\right)^2}}{\sqrt2\cosh (\pi x)} \\
&= \left(1-9 x^2\right) \frac{\sqrt{ \cosh (2 \pi
x)+1}}{\sqrt2\cosh (\pi x)} \\
&= 1-9x^2
\end{aligned}$$ -
Y en a qui aiment vraiment souffrir ici !
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Bonjour!
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