Convergence d'une suite

Et peut-être un petit « Bonjour » et une formule un peu moins impérative à la fin(par exemple en mettant le « svp » en toutes lettres et un point d’interrogation au lieu d’un point d’exclamation).
Cela fait déjà un bon paquet d’idées je trouve. :-D

Sinon, je conseille de calculer numériquement des premiers termes, pour quelques valeurs de $u_1$, et de déterminer ainsi des conjectures concernant le sens de variation et la limite de la suite. Il sera possible alors de les démontrer.

Bonjour,
On peut montrer que, pour tout $n$, $x\mapsto (1+\frac1n)\sin (x)$ possède un unique point fixe dans $]0,\pi[$ noté $\ell_n$. Ensuite on peut comparer $u_{n+1}$ à $u_n$ et $\ell_n$ en fonction de la position de $u_n$ par rapport à $\ell_n$. Enfin, trouver la limite de $(\ell_n)$ puis de $(u_n)$.
Bon travail personnel, comme dit un autre membre habituel du forum.

La méthode de Calli est séduisante par son naturel, mais je n'arrive pas à la finaliser.
Malheureusement je n'ai plus de moyen de calcul comme autrefois, où je les utilisais pour faire des conjectures dans ce genre de problème.
À cette époque j'avais trouvé une autre méthode pour cet exercice, qui consistait à comparer $u_n$ à $\sqrt {\frac 6n}$, ce qui est bien moins naturel que la méthode de Calli, mais bon, ça marche aussi.
J'espère que nous pousserons ce fil jusqu'au bout, ce qui nous permettra d'exposer les deux méthodes, avec même un prolongement.
Bonne journée.
Fr. Ch.

Un équivalent de la suite?
Envoyé avant le post de side

Gebrane, bonne question : $ u_n \sim \frac 3{\sqrt n}$ (sauf erreur).

supp

Chaurien a écrit:

La méthode de Calli est séduisante par son naturel, mais je n'arrive pas à la finaliser.

Alors voilà. On a $u_{n+1} \in [0 , 1+ \frac{1}{n} ]\subset [0 ,\pi ]$ donc $u_n$ reste dans $[0 ,\pi ]$. Par étude de la fonction $f_{n} :x \mapsto \left(1+ \frac{1}{n} \right) \sin (x) - x$, on montre qu'elle possède un unique point fixe $\ell _{n}$ sur $]0,\pi [$. Et, à partir d'un certain rang, $f_{n} \!\left( \frac{\pi }{2} \right) = 1+ \frac{1}{n} - \frac{\pi }{2} <0$, donc $\ell _{n} \in \,]0, \frac{\pi }{2} [$. À partir du même rang, $(\ell_n)$ est décroissante, donc convergente et ce forcément vers $0$.
De plus, $\left(1+ \frac{1}{n} \right) \sin (x)$ croît sur $[0,\ell _{n} ]$ et est inférieur à $x$ sur $[\ell _{n} , \frac{\pi }{2} ]$. Donc on a $u_{n+1} \leqslant \ell _{n}$ si $u_{n} \leqslant \ell _{n}$ et $u_{n+1} \leqslant u_{n}$ si $u_{n} \geqslant \ell _{n}$. Dans tous les cas on obtient que $\max (u_{n+1} ,\ell _{n} )$ décroit, donc converge. Si sa limite $\ell$ est $>0$, on en déduit $u_{n} \rightarrow \ell $ donc $\ell = \sin (\ell )$ et $\ell =0$. Donc $0\leqslant u_{n} \leqslant \max (u_{n} ,\ell _{n-1} ) \longrightarrow \ell =0$.

Oui. J'ai modifié mon précédent message, notamment la définition du max que je regarde.

Peut-être bien.
D'ailleurs, petite précision : je n'avais pas vu ton message avant de publier le mien.

Je me rappelle qu'à LLG, il y avait un truc pour étudier les suites bizarres.

On cherchais un $\alpha$ tel que $u_{n+1}^{\alpha} - u_n^{\alpha} $ donne un truc sympathique et puis on somme à la Césaro. Donc il faut développer le $u_n^{\alpha}$ et choisir le bon $\alpha$. Et sinon c'est sur $ \log (u_n^{\alpha} ) $ qu'on fait un Césaro.

C'était il y a super longtemps désolé si c'est un peu flou.

Moi aussi avec Python je trouve $u_n \approx \frac{3}{\sqrt{n}} $.

Chaurien
Help, comment trouves-tu ce dl asymptotique

Je dirai ensuite comment j'ai trouvé la limite, c'est plutôt vilain mais ça marche.
Pour le développement asymptotique, non je ne fais pas de Python, je n'y connais rien :-(.
J'utilise systématiquement la sommation des relations de comparaison, qui me semble l'outil approprié pour ces questions.
On a : $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(\frac{1}{\sin ^{2}x}-%
\frac{1}{x^{2}})=\frac{1}{3}$.
D'après la relation de récurrence : $\frac{(n+1)^{2}}{u_{n+1}^{2}}-\frac{n^{2}}{u_{n}^{2}}=n^{2}(\frac{1}{\sin
^{2}u_{n}}-\frac{1}{u_{n}^{2}})\sim \frac{n^{2}}{3}$ quand $n\rightarrow
+\infty $.
Par sommation on en déduit : $\frac{n^{2}}{u_{n}^{2}}\sim \frac{n^{3}}{9}$ quand $n\rightarrow +\infty $, d'où : $u_{n}\sim \frac{3}{\sqrt{n}}$ quand $n\rightarrow+\infty $.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Malin Chaurien !

L'idée était de penser à former cette différence $\left(\frac{n+1}{u_{n+1}}\right)^{2}-\frac{n^{2}}{u_{n}^{2}}$

Merci pour ces précisions. C'est en forgeant qu'on devient forgeron paraît-il

Concernant l'utilisation de la limite supérieure, ici c'était vraiment adéquate. Le truc c'est que ce n'est plus au programme de L1/L2 et donc, au quotidien avec des étudiants, on s'en prive, alors que c'est une arme redoutable.

@gebrane
To prove or not to prouve, that is the question.

Attention à l'accent sur le nom d'Ernesto Cesàro (1859-1906) :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ernesto_Cesàro
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cesaro/.
Il est vrai que dans les textes mathématiques évoquant Cesàro, on voit cet accent réparti aléatoirement et uniformément sur les trois voyelles de son nom, mais selon les sources c'est sur celle-ci qu'on doit le mettre.
J'en suis d'ailleurs étonné, attendu que c'est la marque de l'accent tonique et qu'en italien l'accent tonique sur l'avant-dernière syllabe est le plus répandu (parole piane), et alors je ne vois pas pourquoi l'indiquer. Les italianisants de ce forum pourraient nous l'expliquer. En tout cas, je répète, d'après les sources fiables, c'est ainsi.
Bonne journée.
Fr. Ch.

@ troisqua
J'efface mon message, je vais le re-rédiger, il y a en fait un problème de parenthésage.
Bonne journée.
Fr. Ch.

En fait il y a d'abord une question de parenthésage, ce que je n'avais pas compris d'abord. Je présume qu'il faut comprendre :
$\ell=\overline{\lim}((1+\frac{1}{n})\sin u_{n} )\le \overline{\lim}(1+\frac{1}{n})\overline{\lim}\sin u_{n}=\overline{\lim}\sin u_{n}\le\overline{\lim}u_{n}=\ell$.
Si c'est le cas, la première inégalité demande une certaine maîtrise du maniement des limites supérieures, notion que j'ai perdue de vue depuis quelque temps.

Bon, je dirais qu'assez vite tous les termes vont être dans $[0,\pi/2]$, comme $\sin$ est croissante continue sur $[0,\pi/2]$, la limsup va vérifier $\ell=\sin(\ell)$ et c'est fini.

Puis je faire observer que $u_{n+1}=\sin u_n$ est le probleme 173 du chap 4 de P\'olya et Szeg\"o?

Comme j'ai dit, on m'a posé ce problème il y a une vingtaine d'années, il me semble que c'était un collègue professeur, et j'ignore où il l'avait pris, et j'avais donné la (vilaine) solution ci-dessus. Voici que je le retrouve Vingt ans après. Le questionneur initial elouadih pourrait-il nous dire d'où provient ce problème actuellement ?

@Chaurien: oui pour les parenthèses, ça me semblait sans ambiguïté possible, j'aurais dû les écrire.


Pour toutes suites $a$ et $b$ à valeurs dans $\left[0;+\infty\right]$ on a :
\[
\overline{\lim}\left(a_{n}b_{n}\right)\leqslant\overline{\lim}a_{n}\overline{\lim}b_{n}
\]

On rappelle que $\overline{\lim}x_{n}=X$ signifie, par définition, que $\inf_{n}\sup_{k>n}x_{k}=X$ et donc que pour tout $X'>X$, il existe $n$ tel que $\sup_{k>n}x_{k}<X'$ donc que tout $X'>X$, il existe $n$ tel que pour tout $k>n$, $x_{k}<X'$. Je ne vais traiter que le cas de suites bornées à partir d'un certain rang (l'autre cas est plus facile).

On note $A=\overline{\lim}a_{n}$ et $B=\overline{\lim}b_{n}$ ($A$ et $B$ sont donc réels) alors pour $A'>A$ et $B'>B$ il existe $n$ tel que pour tout $k>n$ on a simultanément $0\leqslant a_{k}<A'$ et $0\leqslant b_{k}<B'$ et donc $0\leqslant a_{k}b_{k}<A'B'$ ce qui montre que $\sup_{k>n}a_{k}b_{k}\leqslant A'B'$ puis que $\inf_{n}\sup_{k>n}a_{k}b_{k}\leqslant A'B'$ et donc $\overline{\lim}\left(a_{n}b_{n}\right)\leqslant A'B'$. $A'$ et $B'$ pouvant être choisis arbitrairement proches de $A$ et $B$, on obtient bien le résultat attendu.

On remarque que pour la somme, pour toutes suites $a$ et $b$ on a :
\[
\overline{\lim}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leqslant\overline{\lim}a_{n}+\overline{\lim}b_{n}
\]
(démo idem en plus simple)

Enfin, un outil très pratique: soit $\ell=\overline{\lim}a_{n}\in\mathbb{R}$ et $f$ croissante sur un voisinage $I$ de $\ell$ (contenant les termes de $a$ à partir d'un certain rang) et continue à droite en
$\ell$ :
\[
\overline{\lim}f\left(a_{n}\right)\leqslant f\left(\overline{\lim}a_{n}\right)
\]
Preuve: soit $\ell=\overline{\lim}a_{n}$. Soit $\ell'>\ell$ (dans $I$). Pour un certain $n$, on a pour tout $k>n$, $a_{k}<\ell'$ donc $f\left(a_{k}\right)\leqslant f\left(\ell'\right)$ donc $\overline{\lim}f\left(a_{n}\right)\leqslant f\left(\ell'\right)$ et par continuité à droite de $f$ en $\ell$, $\overline{\lim}f\left(a_{n}\right)\leqslant f\left(\ell'\right)$.

Ces résultats appris et maîtrisés, on est fortement armé pour résoudre énormément de problèmes (sans découpage d'epsilon en mille morceaux). Par exemple, pour la recherche de la limite de la suite de ce fil, je n'ai quasiment pas cherché. On peut d'ailleurs procéder pareil pour $u_{n+1}=\sin u_n$. Un régal
Je crois me souvenir d'un ouvrage de préparation à l'agrégation externe (Zuily / Queffelec) qui démarrait directement par ça en faisant les louanges de cet outil pour l'analyse).