Diamètre figure géométrique connexe par arcs

Dis comme ça la réponse est évidemment oui (prendre la "figure géométrique" disjointe et suffisamment loin de $A$) donc j'imagine qu'il manque quelque chose dans l'énoncé (par exemple que la "figure" soit contenue dans $A$).

La question est peut-être la suivante. Soit un espace vectoriel $E$ de dimension finie et une partie $A$ fermée et bornée ayant au moins deux éléments. On note $\delta(A)$ le diamètre de $A$.
Alors il existe $a \in A$ et $b \in A$ tels que $ ||b-a||= \delta(A)$. Ça, c'est connu, de par la compacité de $A$.
De plus, $a$ et $b$ sont éléments de $Fr(A)$ (frontière de $A$). Je pense que c'est vrai car si $a $ n'était pas sur la frontière, il serait intérieur à $A$ et il y aurait une boule $B(a,r)$ incluse dans $A$, avec $r>0$. Le point $x=a-\lambda (b-a)$, avec $\lambda = \frac{ r}{2 ||b-a||}$ serait dans la boule $B(a,r)$, donc dans $A$ et on aurait : $||x-b||>||b-a||=\delta (A)$. Impossible. Faire une figure : ça se voit très bien sur la figure..
Je suis allé un peu vite, j'ai rajouté $A$ fermé, mais on peut discuter.
Qu'en dites-vous ?

Si $A$ est d'intérieur non vide il est possible de construire une telle "figure" (il suffit de prendre un segment) inclus dans une boule ouverte incluse dans $A$.

Si $A$ est d'intérieur vide et est fermé, alors $A$ est égal à sa frontière et la réponse est négative. Si $A$ est d'intérieur vide et non fermé on peut trouver des cas où la réponse est positive et d'autre où elle est négative...

Si la partie $A$ n'est pas fermée, alors son diamètre n'est pas forcément atteint en deux points de $A$. Mais ce diamètre est celui de son adhérence $\overline{A}$, qui est compacte, et il est atteint en deux points de $\overline{A}$, et si je ne me suis pas trompé dans mon dernier message, ce sont deux points de la frontière de $\overline{A}$.

Soit une partie $A$ d'un espace métrique $E$. Un point $x \in E$ est élément de la frontière $Fr(A) $ ssi tout voisinage ouvert $V$ de $x $ contient un point $y \in A$ et un point $z \notin A$.
Soit $ x \in Fr(\overline{A})$. Alors tout voisinage ouvert $V$ de $x $ contient un point $y \in \overline{A}$ et un point $z \notin \overline{A}$.
Puisque $y \in \overline{A}$, tout voisinage ouvert de $y $ contient un point de $ A$, et comme $V$ est un voisinage ouvert de $y$, cet ensemble $V$ contient un point $y_1 \in A$.
De plus $z \notin \overline{A}$ implique $z \notin A$.
Donc l'ensemble $V$ contient $y_1 \in A$ et $z \notin A$. Il en résulte : $x\in Fr(A)$.
Et il ainsi est prouvé que : $Fr(\overline{A})\subset Fr(A)$.

mais pardon, ma remarque ne sert à rien ici !!

Ou bien comme $A\subset\overline{A}$, on a $A^{{^\circ}}\subset\overline{A}^{{^\circ}}$ donc on a
\[
\text{Fr}\left(\overline{A}\right)=\overline{\overline{A}}\backslash\overline{A}^{{^\circ}}=\overline{A}\backslash\overline{A}^{{^\circ}}\subset\overline{A}\backslash A^{{^\circ}}=\text{Fr}\left(A\right)
\]

Édit: grillé sur le fil !

Tout à fait, j'ai cherché désespérément pourquoi on parlait de connexité (par arcs !).