Détermination d'une fonction grâce à son DSE
dans Analyse
Salut, est-ce que peut-on déterminer la fonction définie sur $]-1,1[$ définie par son développement en série entière : $$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{3n+1} \quad ?
$$ Merci.
Mes premières tentatives étaient de dériver et d'essayer de trouver une équation différentielle vérifiée par $f$. (:P)
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{3n+1} \quad ?
$$ Merci.
Mes premières tentatives étaient de dériver et d'essayer de trouver une équation différentielle vérifiée par $f$. (:P)
Réponses
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supp
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Une idée à finir
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (x^{3n}) = \frac{1}{1+x^3}$$ d'où
$$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{3n + 1}}{3n + 1} = \int \frac{dx}{1+x^3}$$Le 😄 Farceur -
bonjour
le raisonnement de gebrane est tout à fait correct
et le calcul de l'intégrale suppose la décomposition de la fraction en éléments simples soit :
$\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1 + x} + \frac{-x/3 + 2/3}{x^2 - x + 1}$
soit après intégration terme à terme et à une constante additive K près :
$f(x) = \frac{1}{6}ln\frac{(x + 1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{1}{2}Arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}} + K$
lorsque x tend vers +oo la fonction f tend vers $\frac{\pi}{4} + K$, f(x) est définie continue sur R+
ton développement en série sur l'intervalle [0 ; +oo[ accouche d'une fonction f définie sur R+
cordialement
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Bonjour!
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