Rafraîchissement de juillet

Si $\alpha<1$, c'est une conséquence de l'exo classique : si $a_n$ tend vers $+\infty$ et $a_{n+1}-a_n$ tend vers $0$, alors $\sin(a_n)$ est dense dans $[-1;1]$.
Si $\alpha = 1$, c'est une conséquence de l'exo classique sur les sous-groupes additifs de $\R$ (et c'est encore dense dans $[-1;1]$).
Le cas difficile est $\alpha>1$.

Peut-être ça peut dépanner

https://math.stackexchange.com/questions/526857/the-limit-of-sinn-alpha

bonjour gebrane

tu considères la fonction g définie sur R avec le paramètre $\alpha$ réel positif supérieur à 1

$$g(x) = x^2.cos\frac{1}{x^{\alpha}}$$

sachant que $- x^2 < g(x) < x^2$ lorsque x tend vers 0 alors g(x) tend vers 0 (théorème des gendarmes) soit g(0) = 0

tu considères le nombre dérivé en zéro de g(x) soit :

g'(0) = limite lorsque x tend vers 0 du rapport : $\frac{g(x) - g(0)}{x}$

soit $limx.cos\frac{1}{x^{\alpha}}$ = 0 d'après le théorème des gendarmes

or cette dérivée de g est $g'(x) = 2xcos\frac{1}{x^{\alpha}} + \frac{\alpha}{x^{\alpha - 1}}sin\frac{1}{x^{\alpha}}$

ce qui signifie forcément en posant $t=\frac{1}{x}$

que la limite lorsque t tend vers l'infini de $t^{\alpha-1}sin(t^{\alpha})$ est nulle

la limite nulle de $sin(t^{\alpha})$ s'impose à celle infinie du monôme de degré $\alpha - 1$

$sin(t^\alpha)$ admet une limite nulle pour t infini et cette convergence a la force de celle d'une exponentielle en - oo

cordialement

jean lismonde a pour passion d'intervenir dans chaque fil d'analyse parlant de limite faisant intervenir des sinus ou des cosinus pour nous dire que ces fonctions ont pour limite $0$ en l'infini (sa fameuse "convergence implosive"). Mieux vaut l'ignorer dans ce genre de cas.

Je reprends, en mieux (plus de détails, moins d'erreurs). Dans ce qui suit, $\Delta$ est l'opérateur de différence $\Delta u(x)=u(x+1)-u(x)$.
Soit $f(x)=x^\alpha$. Si $\sin(n^\alpha)$ converge vers $\ell=\sin{\theta}$, alors la suite $(f(n))_{n\in\N}$ modulo $2\pi$ a au plus deux valeurs d'adhérence ( $\theta$ et $\pi-\theta$). Alors pour tout $k$ la suite $(\Delta^k f(n))_{n\in\N}$ modulo $2\pi$ a un nombre fini de valeurs d'adhérence. Alors:
- si $\alpha$ est un entier, pour $k=\alpha-1$, $\Delta^kf(n)$ est de la forme $an+b$ avec $a$ entier, et c'est clasique dans ce cas que la suite $(\Delta^k f(n))_{n\in\N}$ modulo $2\pi$ est dense.
- si $\alpha$ est non entier, on utilise le fait que $\lim_{n\to +\infty} \Delta^kf(n)=\lim_{+\infty} f^{(k)}$, ce qui s'obtient en utilisant successivement le théorème des accroissements finis pour écrire $\Delta^kf(n)=f^{(k)}(c_n)$. On déduit que pour $k=[\alpha]$, $\lim_{n\to +\infty} \Delta^kf(n)=+\infty$ et $\lim_{n\to +\infty} \Delta^{k+1}f(n)=0$, ce qui implique de nouveau que $(\Delta^k f(n))_{n\in\N}$ modulo $2\pi$ est dense.
Dans tous les cas on a obtenu une contradiction et on conclut.

En fait la même preuve montre que la suite $(n^\alpha)_{n\in\N}$ modulo $2\pi$ a un nombre infini de valeurs d'adhérence. On peut en fait montrer que la suite est équirépartie : la preuve est bien plus complexe, mais le plan d'actions est le même (i.e.traiter le cas d'une suite à croissance lente, puis s'y ramener en itérant un opérateur de différence). Ca semble parler de ça dans le lien d'Etanche

Avec la même l'idée il y a 15 ans . $a>1$ et $b=E[a]+1$

On a $A=\{\ln(2\pi(n+1)^b)-\ln((p+1)^a) \mid n,p \in \N\}$ est dense dans $\R$ (*)

Il existe une suite de $A$ qui converge vers $0$

i.e. $\ln(2\pi(n_k+1)^b)-\ln((p_k+1)^a \to 0$, quand $k\to+\infty$

$$\frac{2\pi(n_k+1)^b}{(p_k+1)^a}\to 1$$

je vous laisse le plaisir de continuer

(*) Soient (u_n) et (v_n) suites réelles. Si $u_n\to+\infty$, $v_n\to+\infty$ et $u_{n+1}-u_n\to0$ alors $\{u_n-v_p \mid n,p \in \N\}$ est dense dans $\R$

il me semble avoir vu que $\sin(\ln(n))$ ne converge pas au sens de Césaro

-Je ne suis pas sûr de voir comment abdelbaki.attioui conclut
-Le fait que $(\sin(\ln n))_n$ est dense (dans [-1,1], pas dans $\R$!) est toujours une conséquence du même fait sur les suites à croissance lente: $\ln(n)$ tend vers l'infini tandis que $\ln(n+1)-\ln(n)$ tend vers $0$.
-La croissance de $\ln(n)$ est cependant si lente que elle ne s'équirépartit pas. On peut donc effectivement avoir des histoires de divergence pour des moyennes $\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}\sin (\ln(n))$ (je ne connaissais pas)
-Du coup quelles sont les valeurs d'adhérence de $\frac{1}{N}\sum_{n\leq N}\sin (\ln(n))$?

Hum, si $f(x)=\sin(\ln x)$, alors $f'(x)=\frac{\cos(\ln x)}{x}$ non? Ce qui n'est certes pas intégrable, mais puisqu'en majorant par $\frac{1}{x}$ ça donne $\int_{1}^N |f'(x)|dx=O(\ln(N))$ c'est suffisant. Et du coup

$$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \sin(\ln n)=\frac{1}{N}\int_1^N\sin(\ln x) dx+O\left(\frac{\ln N}{N}\right),$$

puis en poursuivant le calcul ($\sin(\ln x)=Im(x^i)$)
$$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \sin(\ln n)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin\left(\ln N-\frac{\pi}{4}\right)+O\left(\frac{\ln N}{N}\right).$$
(en particulier l'ensemble des valeurs d'adhérences est donc $[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]$.

@gebrane : Pas de soucis!

Je ne l’avais pas écrit au propre, mais j’ai procédé comme Namiswan.

J'ai donné le résultat au dessus, c'est $[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$. C'est en fait une conséquence directe du développement asymptotique (et de toujours le même lemme sur les suites à croissance lente).

@Namiswan: Pour ma culture générale, aurais-tu un énoncé et/ou une référence pour ce lemme des suites à croissance lente ?

Bonjour, après relecture approfondie de cette preuve je n'ai trouvé qu'une seule bavure (1)

Soit $a>1$, alors la suite $u_n=\sin(n^a)$ diverge.

On va monter qu'elle n'est pas de Cauchy. Soit $b=E[a]+1$
Pour tout $n\in\N$, il existe $p_n\in\N$ tel que $$
(p_n+1)^a> 2(n+1)^b\pi-\frac{\pi}{3}> p_n^a\quad (*)

$$ On a $p_n> n$ et il existe $c_n\in] p_n^a,(p_n+1)^a[$ tel que $$
|u_{p_n+1}-u_{p_n}|\overset{(1)}{=}|\cos(c_n)|=|\cos(c_n-2(n+1)^b\pi)|\overset{(2)}{\geq }\frac{1}{2}.

$$ Correction de (1) et justification de (2). $$
(*)\Rightarrow {2n^b\pi}\sim{2(n+1)^b\pi}\sim{(p_n+1)^a}\sim{p_n^a}\mbox{ et }\lim \frac{n}{p_n}=0 .
$$ Par ailleurs, $$
(p_n+1)^a-p_n^a\sim ap_n^{a-1} \mbox{ et } (p_n+1)^a-p_n^a> 1, \quad \forall n\in\N
$$ (1) devient $$
|u_{p_n+1}-u_{p_n}|=((p_n+1)^a-p_n^a)|\cos(c_n)|\geq |\cos(c_n)|.
$$ Pour le (2), on a $$
(p_n+1)^a-2(n+1)^b\pi> -\frac{\pi}{3}> p_n^a-2(n+1)^b\pi,\quad \forall n\in\N
$$ Alors, $$
L=\liminf((p_n+1)^a-2(n+1)^b\pi) \mbox{ existe et }L\geq -\frac{\pi}{3}.
$$ Il existe $\phi :\N\to\N\uparrow$ telle que $$
L=\lim((p_{\phi(n)}+1)^a-2(\phi(n)+1)^b\pi) .
$$ De même, $$
\ell=\limsup(p_{\phi(n)}^a-2(\phi(n)+1)^b\pi) \mbox{ existe et }\ell\leq -\frac{\pi}{3}.
$$ Il existe $\psi :\N\to\N\uparrow$ telle que $$\ell= \lim (p_{\phi(\psi(n))}^a-2(\phi(\psi(n))+1)^b\pi) \leq -\frac{\pi}{3}.
$$ On a aussi, $$
L=\lim((p_{\phi(\psi(n))}+1)^a-2({\phi(\psi(n))}+1)^b\pi) \geq -\frac{\pi}{3}.
$$ Alors, $$\lim((p_{\phi(\psi(n))}+1)^a-p_{\phi(\psi(n))}^a)=L-\ell,
$$ donc $\lim a p_{\phi(\psi(n))}^{a-1}=L-\ell$ ?
Résultat surprenant où est l'erreur ?
Merci.

Bonjour
J' attend vos remarques
Merci

je respecte les septiques en maths.
On a mieux $$
2(n+1)^b\pi-\frac{\pi}{3}>(n+1)^a, \quad\forall n\in\N
\\
2(n+1)^b\pi-\frac{\pi}{3}>6(n+1)^b-2\geq (n+1)^a+5(n+1)^b-2>(n+1)^a$$

on a $$(p_n+1)^a> 2(n+1)^b\pi-\frac{\pi}{3}> p_n^a,\quad \forall n\in\N
$$ et (voir message précédent) $$2(n+1)^b\pi-\frac{\pi}{3}>(n+1)^a, \quad\forall n\in\N
$$ Alors $$(p_n+1)^a>(n+1)^a,\quad \forall n\in\N
$$ i.e $$p_n>n,\quad \forall n\in\N$$

Il n' y a aucune erreur dans cette étape,, es-tu d'accord ?