Question d'analyse

Mr Unknown · July 2020

Bonjour
Des idées pour montrer $$
\forall x>0,\ \forall n \in \mathbb{N}^{*} ,\quad x^n\ne \ln(x).
$$ Merci.

Poirot · July 2020

Quand $0 < x \leq 1$ le résultat est évident pour tout $n \in \mathbb N^*$. Ensuite pour $x \geq 1$, on a l'inégalité bien connue $\ln x \leq x-1$ (que tu peux établir par étude de fonction par exemple), d'où $\ln x < x^{\alpha}$ pour n'importe quel $\alpha \geq 1$.

Chaurien · July 2020

Plus précisément : $\forall x\in \mathbb R_+^*, \forall n \in \mathbb{N}^{*}, x^n > \ln x$.
On étudie la différence, c'est immédiat.

Chaurien · July 2020

Je dirai même plus, si $x>0$ et si $\alpha > \frac 1e$ alors $x^\alpha > \ln x$, et c'est le meilleur $\alpha$.

chettah · July 2020

On considére la fonction $f_n(x)=x^n-ln(x)\; \; \; ,x>0 , n\geq 1 $
par l'étude de la fonction $f$ :
$ f '_ n(x)=nx^{n-1} - \frac{1}{x} = \frac{nx^n -1}{x} $
On remarque que $f$ décroissante sur $]0,\frac{1}{^n\sqrt{n}}[ \ \ \ \ $ et croissante sur $]\frac{1}{ ^n\sqrt{n} },+\infty[$
Donc :$ f_n(x) \geq f_n(\frac{1}{^n\sqrt{n}})$
Et pour tout$ x>0 \ \ \ $ , $ ln(x) \leq x-1$
Alors: $f_n(\frac{1}{^n\sqrt{n}})=n- \frac{ln(n)}{n} \geq n-\frac{n-1}{n}>n-1 $
Par hypothèse $n \geq 1$
Donc : $f_n(x) > 0$
$ x^n>ln(x) $
D'où $ x^n \neq ln(x)$

callipiger · July 2020

Bonsoir,
on peut regarder les dérivées (si on admet que ln est dérivable),
pour ln c'est décroissant
pour $x^n$ c'est croissant

gebrane · July 2020

Chettah c'est compliqué, il suffit de savoir que $ln(x)<x$ pour tout x>0, pour conclure sans étude de fonction que $ln(x)<x^n$ pour tout x>0 et tout n>1

chettah · July 2020

@gebrane
tu n'as pas le droit de déduire cette conclusion.
Prends l'exemple :
$ \frac{1}{3} < \frac{1}{2}\quad$ mais $\ \frac{1}{3} > \frac{1}{2^n} ,\quad $ pour tout $ n \geq 2.$
Si tu me dis pour $ x>1,\ \ $ je suis d'accord mais le cas est $x>0.$
On peut utiliser même cette méthode simple comme l'as dit Poirot.

gebrane · July 2020

Quand même chettah, pour $0<x\leq 1$, l’inégalité est trivialement vérifiée

chettah · July 2020

@gebrane
Je le sais, Mais certains élèves peuvent considérer cette propotision comme toujours correcte c'est pourquoi il faut clarifier, car je vois qui a posé la question est un nouveau membre du forum.
J'ai utilisé la méthode de dérivation comme une autre méthode parce qu' elle est beaucoup utilisée pour montre les inégalites , et aussi c'est une méthode un peu générique