Démontrer l'inégalité triangulaire

Homo Topi · July 2020

Sur $\mathbb{R}$, on définit la valeur absolue par $|x| = \max(x,-x)$. La valeur absolue vérifie l'inégalité triangulaire : $|x+y| \leqslant |x|+|y|$.

J'ai toujours démontré l'inégalité triangulaire sur $\mathbb{R}$ en faisant des distinctions de cas : selon dans quel ordre $x$, $y$ et $0$ sont rangés. On s'en sort, mais c'est vraiment ennuyeux puisqu'il n'y a pratiquement rien à faire, à part réécrire plein de fois presque la même chose. Quelqu'un a-t-il une peuve plus courte/élégante abordable au niveau L1 ? Je suis preneur (:D

incognito · July 2020

Pour tous réels $x$ et $y$, on a $x\leqslant |x|$ et $y\leqslant |y|$, donc $x+y\leqslant |x|+|y|$. De même on a $-x\leqslant |x|$ et $-y\leqslant |y|$, donc $-(x+y)\leqslant |x|+|y|$. On en déduit que $\max(x+y,-(x+y)) \leqslant |x|+|y|$, ce qui est le résultat demandé.

Homo Topi · July 2020

Oui, c'est plus rapide comme ça. Merci.

BobbyJoe · July 2020

En élevant au carré, l'inégalité triangulaire se résume à (est équivalente à) : $xy\leq \vert x\vert \times \vert y\vert.$
Ce qui est manifestement vrai!

Homo Topi · July 2020

En fait, c'est parce que je retravaille la construction de $\mathbb{R}$ que je revois ça. Mais j'ai démontré ces résultats, alors autant m'en servir, ça sert à ça.

BobbyJoe · July 2020

Réinventer la poudre, c'est parfois utile! ^^

Homo Topi · July 2020

Le truc, c'est juste de trouver un ordre cohérent pour démontrer les choses, sinon, on finit par un serpent qui se mord la queue : on suppose $A$ pour démontrer $B$, puis on démontre $C$ à partir de $B$, et on démontre $A$ à partir de $C$. Au final, on n'a démontré aucun des trois résultats...

Pour le coup, ton dernier message supposait d'avoir démontré que $|xy| = |x|\times |y|$, ça je l'avais fait, je n'y avais juste pas pensé.

Démontrer l'inégalité triangulaire

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