Complétude de $\mathbb{R}$

Je suis donc en train de refaire la construction de $\mathbb{R}$. Le poly que j'ai trouvé construit $\mathbb{R}$ comme le quotient de l'anneau $\mathcal{C}$ des suites de rationnels "de Cauchy" par l'idéal $\mathcal{I}$ des suites qui "tendent vers $0$". La raison pour laquelle je mets des guillemets est simple : le "pour tout $\epsilon > 0$" dans les définitions de suite de Cauchy/suite convergente est un rationnel et pas un réel, puisqu'on construit justement $\mathbb{R}$.

Et là j'ai un lemme à démontrer qui servira dans la preuve de la complétude de $\mathbb{R}$, mais j'ai du mal avec un point de la preuve de ce lemme. Je joins une capture d'écran de la preuve.
Je comprends le début, mais après ils fixent $n$ et font varier $n$ en même temps, je pense qu'il y a une erreur de rédaction là-dedans. Mais surtout, je ne comprends pas comment ils passent de la suite $u$ au réel $\alpha$ qu'elle représente "juste comme ça" puisqu'on ne sait pas encore que la suite va "converger" vers $\alpha$.

Je veux réécrire cette preuve, parce que je la trouve mal écrite.
Pour moi, c'est $p \geqslant n_0$ qu'il faut fixer, auquel cas $(u_n)_n$ est coincée entre $u_p \pm \epsilon'$ à partir du rang $n_0$. Mais dans ce cas, on peut écrire que $|u_n - u_p| < \epsilon' \geqslant \epsilon$, et donc dans $\mathbb{R}$, $u$ converge vers $u_p$. Mais on ne peut pas avoir $u_p = \alpha$ dès que $\alpha$ est irrationnel, donc il y a clairement un problème. Je ne comprends pas comment ils font réapparaître le $\alpha$, puisque "une suite de rationnels peut converger vers un réel" est littéralement ce que le lemme veut prouver !