Complétude de $\mathbb{R}$
Je suis donc en train de refaire la construction de $\mathbb{R}$. Le poly que j'ai trouvé construit $\mathbb{R}$ comme le quotient de l'anneau $\mathcal{C}$ des suites de rationnels "de Cauchy" par l'idéal $\mathcal{I}$ des suites qui "tendent vers $0$". La raison pour laquelle je mets des guillemets est simple : le "pour tout $\epsilon > 0$" dans les définitions de suite de Cauchy/suite convergente est un rationnel et pas un réel, puisqu'on construit justement $\mathbb{R}$.
Et là j'ai un lemme à démontrer qui servira dans la preuve de la complétude de $\mathbb{R}$, mais j'ai du mal avec un point de la preuve de ce lemme. Je joins une capture d'écran de la preuve.
Je comprends le début, mais après ils fixent $n$ et font varier $n$ en même temps, je pense qu'il y a une erreur de rédaction là-dedans. Mais surtout, je ne comprends pas comment ils passent de la suite $u$ au réel $\alpha$ qu'elle représente "juste comme ça" puisqu'on ne sait pas encore que la suite va "converger" vers $\alpha$.
Je veux réécrire cette preuve, parce que je la trouve mal écrite.
Pour moi, c'est $p \geqslant n_0$ qu'il faut fixer, auquel cas $(u_n)_n$ est coincée entre $u_p \pm \epsilon'$ à partir du rang $n_0$. Mais dans ce cas, on peut écrire que $|u_n - u_p| < \epsilon' \geqslant \epsilon$, et donc dans $\mathbb{R}$, $u$ converge vers $u_p$. Mais on ne peut pas avoir $u_p = \alpha$ dès que $\alpha$ est irrationnel, donc il y a clairement un problème. Je ne comprends pas comment ils font réapparaître le $\alpha$, puisque "une suite de rationnels peut converger vers un réel" est littéralement ce que le lemme veut prouver !
Et là j'ai un lemme à démontrer qui servira dans la preuve de la complétude de $\mathbb{R}$, mais j'ai du mal avec un point de la preuve de ce lemme. Je joins une capture d'écran de la preuve.
Je comprends le début, mais après ils fixent $n$ et font varier $n$ en même temps, je pense qu'il y a une erreur de rédaction là-dedans. Mais surtout, je ne comprends pas comment ils passent de la suite $u$ au réel $\alpha$ qu'elle représente "juste comme ça" puisqu'on ne sait pas encore que la suite va "converger" vers $\alpha$.
Je veux réécrire cette preuve, parce que je la trouve mal écrite.
Pour moi, c'est $p \geqslant n_0$ qu'il faut fixer, auquel cas $(u_n)_n$ est coincée entre $u_p \pm \epsilon'$ à partir du rang $n_0$. Mais dans ce cas, on peut écrire que $|u_n - u_p| < \epsilon' \geqslant \epsilon$, et donc dans $\mathbb{R}$, $u$ converge vers $u_p$. Mais on ne peut pas avoir $u_p = \alpha$ dès que $\alpha$ est irrationnel, donc il y a clairement un problème. Je ne comprends pas comment ils font réapparaître le $\alpha$, puisque "une suite de rationnels peut converger vers un réel" est littéralement ce que le lemme veut prouver !
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Réponses
** de manière générale les passages au quotient trop rapide servent à leurs auteurs ou bien:
- à cacher des flous qui les gênent
- à briller dans des bars de Bibliothèque en mettant du verbeux par dessus les représentants de classe (c'est la lutte des classes lol )
Mais dans des situations triviales comme la présente, c'est contre-productif.
Parce qu'ils oublient des quantificateurs et parlent de réels trop tôt. L'accumulation de notations a un prix. Quand il y en a trop on s'y perd.
Tu as raison, il y a un problème de rédaction dans cette preuve.
Je reprends à : soit $n_0\in\Bbb N$ tel que : $\forall n,p\geqslant n_0, |u_n-u_p| <\epsilon'$. Fixons $p$, avec $p\geqslant n_0$. La suite $(u_n)_{n\in\Bbb N}$ est, à partir du rang $p$, entre $u_p-\epsilon'$ et $u_p+\epsilon'$. Soient les suites constantes $v_n := u_p-\epsilon'$ et $w_n :=u_p+\epsilon'$. Par définition de l'ordre sur $\Bbb R$ (*), le réel représenté par $(v_n)$ est strictement inférieur à celui représenté par $(u_n)$, lui-même strictement inférieur à celui représenté par $(w_n)$. Or $(v_n)$ représente le réel $u_p-\epsilon'$, $(u_n)$ représente $\alpha$ et $(w_n)$ représente $u_p+\epsilon'$. Donc $u_p-\epsilon'<\alpha<u_p+\epsilon'$ dans $\Bbb R$, i.e. $|u_p-\alpha|<\epsilon'$.
(*) Pour moi c'est : si $(u_n)$ représente le réel $x$ et $(v_n)$ représente $y$, alors $x<y$ ssi $u_n<v_n$ à partir d'un certain rang. Il faut vérifier que ça ne dépend pas des représentants choisis.
Conclusion : ce n'est pas parce qu'un poly a été écrit par un prof de l'ENS que ça ne contient pas de grosses bêtises.
Et effectivement, c'est juste la manière dont c'est rédigé qui m'a embrouillé. Je suis extrêmement minutieux et vigilant quand je fais de l'analyse réelle, j'ai besoin d'énoncés parfaitement clairs et précis, sinon je ne sais plus quoi croire.
Allez, je réécris la preuve avec ce qu'on m'a donné ici, et on n'en parle plus. Merci à vous !
À partir d’un certain rang $n_0$, on a $w_n<u_n<v_n$ donc $u_p-\varepsilon’<\alpha<u_p+\varepsilon’$.
Tu adptes quelque chose comme (désolé, j'ai flemme et indispo) :
Tu as une suite de Cauchy de suites de Cauchy u.
Sans perte de généralité, tu peux supposer que $|u(n)(p)-u(q)(r)| <1/n$ pour tous $n,p,q,r$ ordonnés dans l'ordre d'écriture.
tu prends $f$ telle que pour tout $n, p \geq f(n) : | u(n)(f(n)) - u(n)(p) | < 1/ (10n)$
La suite $$v: n\mapsto u(n) (f(n)) $$
est de Cauchy et "limite" de u car (je te laisse quantifier):
$$|[u(n) (f(n))]-[u(p) (f(p))]|$$
est majoré par
$$(|[u(n) (f(n))]-[u(n) (f(p))]|) + (|[u(n) (f(p))]-[u(p) (f(p))]|)$$
Je n'ai quasiment pas sauté d'étapes, le WLOG est à déplier par contre. Je n'ai fait que traduire ce que je te suggérais, en français, de faire
Franchement, je ne fais pas exprès de ne jamais rien comprendre à ce que tu racontes. Je ne sais plus à quand remonte la dernière fois qu'un de tes messages m'a vraiment appris quelque chose...
J'ai résulu mon problème, en tout cas.
Mais pour juste après la complétude, il faut bien considérer une suite des réels, donc une suite de suite..(en fait une suite d'ensembles de suites :-D )
Après on n'a pas forcément besoin de trop expliciter ça si on a mis en place suffisamment d'outils (lemmes, définitions,..) en amont pour faire glisser le truc en douceur. C'est probablement ce que fait ton document, aux imprécisions près
cc préfère la méthode brute: droit au but en un minimum de lignes, sans déviation, et tant pis si ça alourdit les notations. Tous les goûts sont dans la nature :-D
Je pose $u_n = 0$ et $v_n = \frac{1}{n+1}$ pour tout entier naturel $n$. On a $u_n < v_n$ pour tout entier naturel $n$, mais $(u_n)$ et $(v_n)$ représentent toutes deux le réel $0$. Il faut sans doute mettre des inégalités larges. Me gourre-je ? (prière de ne pas rajouter l'accent, c'est ma façon de voir l'euphonie ;-))
En fait, ce qui "m'agace" (je n'ai pas d'autre mot et on est tard le soir) chez ces auteurs qui "plantent" HT, c'est qu'ils sont dans le mi-figue mi-raisin, s'embarquent dans des usines à gaz inutiles avec plongements, morphismes et tralala EN SE FORCANT, car comme tout le monde, ils savent que IR est complet et savent pourquoi, donc savent "que ça va gagner à la fin", finalement, fatigués à mi parcours, foirent le truc par flemme d'aller jusqu'au bout soigneusement des choses, donc et que j'oublie des quantificateurs, et que ceci et que ce la et de l'autre côté, certains lecteurs sont persuadés qu'il va falloir suivre chaque ligne s'ils veulent que rien ne leur échappe et "se font trahir".
De mon point de vue, faut être un peu manichéen parfois, c'est à dire soit, on fait tout à partir de rien (de la terre ramassée à la pelle, soit on est franc, on installe tout proprement, et on règle la question en une ligne** . Là, c'est un peu faire payer au lecteur son intimité. C'est pour ça que j'ai indiqué à HT l'aspect "sans rien" (que je l'invitais à faire lui-même, avec de quoi y arriver). Mais il n'y a aucune obligation de parler de la complétude de IR avant la fin du film de toute façon, et avant tout les auteurs, voyant qu'ils pataugeaient dans la semoule auraient dû le réaliser eux-mêmes.
On ne gaspille pas de papier, en mettant dans uun tel cours en bas de la page 274 par exemple que IR est complet au titre du fait que si $u$ est une suite de Cauchy de réels, la suite (enfin une) suite de rationnels $q$ telle que $\forall n : u_n-q_n \in [0,1/n]$ sera telle que $u$ converge vers $Classe(q)$