Bonjour
$L_{per} ^2(Y)$ est le sous-ensemble de $L^2(Y)$ formé des fonctions qui sont $1$-périodiques. Soit $f=(f_1,\ldots,f_N)$ une fonction bornée et $1$-périodique, j'aimerais savoir si $\mathrm{div}(f) \in L_{per} ^2(Y),$ où $Y=[0,1]^N,\ N\in \mathbb N$.
Réponses
si f dans $L^2(Y)$, quel sens donnes-tu à $div f$?
Bref je me pose la question de savoir si $(uv)’=u’v+v’u$ dans $L^2(Y)$.
$-\text{div}A(y)\nabla_yw_i(y) = f(y)$, avec $f(y) = \text{div}A(y) e_i$
Reste alors à montrer que $\int_Y f(y) dy = 0$, ce qui est ici une conséquence du théorème de la divergence + la périodicité de A(y)
je voulais dire que le théorème demande d’abord que $f \in L_{per} ^2 (Y)$. Et mon problème est que je n’arrive pas à montrer cela lorsque je prends $f=div(Ae_i)$ . ou $Ae_i$ est le produit du tenseur A et du vecteur $e_i$
La propriété (1.1) permet de montrer que c'est dans $L^2(Y)$, et deux phrases plus loin,
" The matrix $A(y)$ is a periodic function of $y$, with period $Y$", d'où l'on déduit que $y \mapsto A(y)e_i$ est dans $L^2_{per}(Y)$
Soit $f\in L^2(Y)$, alors $T:\phi\in D(Y) \to\R$ définie par : $T(\phi)=-\int_Y f\div(\phi)$ est une distribution.
Car par Cauchy-[large]S[/large]chwarz $$
|T(\phi)|\leq \Big(\int_Yf^2\Big)^{1/2} \sup_Y \Big|\div(\phi)\Big|.
$$ On dit alors que $f$ admet une divergence au sens distribution et on note $\div(f)=T$. Ceci n'implique pas toujours $\div(f)\in L^2(Y)$ i.e $T$ régulière, mais $\div(f)\in L^2(Y)$ dans le cas $f\in H^1(Y)$.
[Herman Schwarz (1843-1921), tout comme Augustin Cauchy (1789-1857) prennent tous deux des majuscules. AD]
comment montres-tu que $\sup_{Y}\div(f)$ existe ?
Merci bien
Ne serait-ce que parce que si $A(y)e_i$ n'est pas continu, sa divergence n'est pas forcément une fonction.