Question sur intégrale impropre

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dans Analyse
Bonjour, je ne suis plus sûr d'une définition donc j'aimerais m'assurer si on peut dire que $$
\lim_{n\to \infty}\int_{-n}^{n}f(x)\ dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\ dx.
$$ En particulier cette question m'intéresse car liée à l'intégrale de Lebesgue.
Merci.

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si l'intégrale est convergente c'est vrai mais ce n'est pas la définition de la convergence d'une intégrale.
    On peut avoir que cette limite existe sans que l'intégrale soit convergente.

    Exemple:

    $\displaystyle \int_{-A}^A x\,dx=0$ pour tout $A$ réel mais $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}xdx$ ne converge pas.
  • aléa
    aléa
    On peut le dire, mais ça ne t'apprendra rien si tu ne précises pas les hypothèses que tu as prises sur $f$.

    Je note par ailleurs que la notation que tu as choisie n'aide pas à y voir clair, car elle ne permet pas de savoir si on parle d'une intégrale de Riemann ou de Lebesgue.

    Dans le cadre des "intégrales de Riemann généralisées", la formule que tu écris est une conséquence directe de la définition de l'intégrale impropre.

    Dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue, ça peut-être, suivant les cas, une conséquence du théorème de convergence monotone ou du théorème de convergence dominée.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je ne suis pas sûr que le concept d'"intégrale impropre" existe quand on parle d'intégrales de Lebesgue.
  • Code_Name
    Code_Name
    Ma question initiale concerne strictement l'intégrale de Riemann.
    J'ai l'impression que vos réponses se contredisent car
    aléa a écrit:
    Dans le cadre des "intégrales de Riemann généralisées", la formule que tu écris est une conséquence directe de la définition de l'intégrale impropre
    Mais
    Fin de partie a écrit:
    Si l'intégrale est convergente c'est vrai mais ce n'est pas la définition de la convergence d'une intégrale.
    On peut avoir que cette limite existe sans que l'intégrale soit convergente.
    En fait ma confusion vient de ceci:

    D'après mon cours, l'écriture $\int_{-n}^{n}f(x)\ dx$ est celle pour l'intégrale de Riemann tandis que celle pour l'intégrale de Lebesgue est $\int_{[-n,n]}f$
    Mais le problème est que mon cours n'a pas défini ce que signifie $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\ dx$ que je ne connais que d'après la définition de l'intégrale de Riemann comme $$\lim_{\underset{b\to +\infty}{a\to -\infty}}\int_{a}^{b}f(x)\ dx$$
    Donc quel est le sens de $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\ dx$ selon l'intégrale de Lebesgue, et comment est-ce lié à la définition de celle de Riemann?
  • aléa
    aléa
    Ton cours a raison pour les écritures que tu mentionnes.

    L'écriture $\int_{-+\infty}^{+\infty} f(x)\ dx$ n'est pas valide pour l'intégrale de Lebesgue; on peut penser que c'est un abus d'écriture pour $\int_{\mathbb{R}} f\ d\lambda$.

    On peut démontrer que si $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$, $\int_{\mathbb{R}} f\ d\lambda$ coïncide avec la limite de $\int_{[a_n,b_n]} f\ d\lambda$, où $a_n$ et $b_n$ sont des suites de limites respectives $-\infty$ et $+\infty$.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Code_name:

    Ton problème est que tu mélanges les deux notions d'intégrales.

    Ces deux notions donnent le même résultat* bien souvent mais pas toujours.
    Par exemple, sauf erreur, il me semble que $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$ ne converge pas en théorie de l'intégration de Lebesgue.


    *: les intégrales convergent vers la même valeur dans les deux théories.
  • Code_Name
    Code_Name
    Ah donc c'est un abus pour désigner $\int_{\mathbb{R}} f\ d\lambda$...
    Je me disais bien que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx$ devait sans doute désigner cette écriture mais je n'en étais pas sûr. Merci beaucoup.

    Fin de partie: Non je ne pense pas mélanger car aléa a très bien compris ma confusion. En effet je pense par exemple que pour vous $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin x}{x}dx$ est une écriture qui est équivalente à l'écriture $\displaystyle \int_{\overline{\mathbb{R}}_{\geq 0}} \frac{\sin x}{x}$ pour Lebesgue, c'était en fait ce que je ne savais pas, d'où ma confusion
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Pourquoi abus?
    $]-\infty,+\infty[$ et $\mathbb{R}$ ce n'est pas le même ensemble?

    PS:
    L'intégrale de Lebesgue a été créée pour se simplifier la vie quand on fait du calcul intégral (il y a un prix à payer, toutes les intégrales qui étaient convergentes précédemment ne le sont pas nécessairement dans cette théorie). Ce n'est donc pas pour s'infliger des notations lourdes qui vont diminuer le bénéfice d'utiliser cette intégrale.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Sur le lien entre intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann:
    http://couture.perso.math.cnrs.fr/L3-Integration/Riemann-vs-Lebesgue.pdf
  • Dom
    Dom
    Pour reprendre ce qui a été dit sur les notations (qui devraient être) officielles.

    1) Riemann $$\int_a^b$$ Il faut comprendre qu’il y a un sens de parcours « de $a$ vers $b$ ».

    2) Lebesgue $$\int_{[a;b]}$$ Il n’y a pas de sens de parcours, c’est une intégrale sur un ensemble.

    Remarque :
    Cela est très étroitement lié à
    1) les série indexées par des entiers, on ajoute les termes dans l’ordre des indices
    2) les familles sommables (dont on se fiche de l’ordre, c’est encore en tant qu’ensemble d’entiers)
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