Point fixe commun : $f\circ g=g\circ f$

abdelbaki.attioui · August 2020

Bonjour,
Soit $f$ et $g$ deux applications continues de $I=[0,1]$ dans $I$. telles que $f\circ g=g\circ f$.

(1) Montrer qu'il existe un $x \in I$ tel que $f(x)=g(x )$.

(2) Montrer que $f$ et $g$ ont un point fixe commun dans les cas suivants:

(a) $f$ croissante sur $I$.

(b) $f$ est affine.

(c)$^{(*)}$ $f$ est contractante.

(3)$^{(***)}$ Montrer qu'en général, $f$ et $g$ peuvent ne pas avoir de point fixe commun.

ev · August 2020

Bonjour Abdelbaki.

Mmmh, j'attends avec impatience une description simple du contrexemple du (3).

e.v.

abdelbaki.attioui · August 2020

J'ai mis (***) car l'exemple que je connais est très compliqué. D'après (2), $f$ n'est pas ...

ev · August 2020

Allez, un fil qui ne nous rajeunit pas.

e.v.

Calli · August 2020

Bonjour,
Plus récemment, la question (1) a été traitée dans le fil "exercices : max min sup inf".

i.zitoussi · August 2020

Woahh, la question 4!
Mélange détonnant d'analyse et de combinatoire.
Ça fait un peu penser à la théorie des noeuds.

Edit: Après relecture, il apparaît qu'il n'y pas de question 4 dans l'énoncé... il s'agissait donc de la 3.

MrJ · August 2020

Je savais qu’en général les deux applications n’ont pas un point fixe en commun, mais pas qu’il était si dur de fabriquer un contre-exemple.

christophe c · August 2020

Je n'ai jamais eu la patience de décortiquer le contre-exemple (11ans déjà, mais trouvé dans les années 60 je crois). Dans "il est facile de", vous trouverez plein de questions avoisinantes (par exemple, je ne sais pas si on peut trouver des CE avec des détivables, etc).

Pire, je ne sais même pas s'il y a des CE avec des ... polynômes.

[CE = ? AD :-S]

Namiswan · August 2020

CC: je crois bien qu'à l'époque déjà je t'avais donné le "bulldozer" suivant, de Fatou et Julia:
"si P et Q sont des polynômes de degrés respectifs m,n >1 qui commutent, alors soit P et Q sont les itérés d'un même polynôme, soit ils sont affinement conjugués à X^n, X^m, soient ils sont affinement conjugués aux polynomes de Tchebytcheff T_n, T_m.
(théorème dur).

En travaillant un chouia à partir de ça, il semble qu'il ne peut y avoir de contre exemple polynomial.

Amathoué · August 2020

AD : contre-exemple :-D

i.zitoussi · August 2020

L'article en question: Commuting Functions with No Common Fixed Point

Je n'ai pas l'accès, mais sur SemanticScholar on peut au moins lire l'introduction, qui récapitule les travaux antérieurs, et en particulier le fait qu'on n'y arrivera pas avec des polynômes.

J'aimerais vraiment voir un exemple; ça doit être une belle paire de monstres.

Math Coss · August 2020

L'article est en libre accès sur le site de l'AMS.

i.zitoussi · August 2020

Math Coss: Merci. Je regarderai peut-être en détail plus tard, pour l'instant ce n'est pas très parlant. Il a beaucoup de mérite l'ami Boyce!

gebrane · August 2020

Peut être je vais dire une bêtise matinale mais il me semble que f et g ont un point fixe commun aussi dans le cas où f est décroissante sur I.
Soit x un point fixe de f ( il est clair que f admet au moins un) , alors g(x) est aussi un point fixe de f ( facile), mais si f est décroissante sur I alors $x\to x-f(x)$ est strictement croissante sur I et donc admet un seul point fixe ce qui oblige que g(x)=x et donc x est un point fixe commun.

MrJ · August 2020

@cc : Dans les anciennes discussion que j’ai épluché hier soir, un membre qui avait l’air de s’y connaître sur ce thème a écrit que si les fonctions sont analytiques alors elles ont un point fixe en commun.

Édit : Il me semble avoir lu aussi que si les deux fonctions sont de classe $C^1$, le problème est ouvert.

MrJ · August 2020

Un autre article construisant un contre-exemple trouvé dans les entrailles du forum : Article.

julian · August 2020

Pourquoi ne pas commencer par le cas où f et g sont derivables ?

julian · August 2020

Pas la peine ? Je détaillerai plus tard

julian · August 2020

Pour le 1 c'est relativement simple...

gebrane · August 2020

Julian , pour le 1, donnes le poisson ou m'apprendre comment le pêcher?

raoul.S · August 2020

gebrane le provocateur diabolique (:D

gebrane · August 2020

raoul, tu n'es pas aussi curieux de savoir ce qu'il a dans le ventre?:-P
Il a écrit 3 messages pour dire rien.

raoul.S · August 2020

oui je suis curieux, surtout de lire l'argument avec $f$, $g$ dérivables pour commencer, puis passer à des $f$ $g$ seulement continues (:D

julian · August 2020

Gebrane, raisonné par l'absurde

Namiswan · August 2020

Je complète le conseil:
Gébrane, une fois que tu as raisonné par l'absurde, essaie alors d'obtenir une contradiction.

christophe c · August 2020

@MrJ je viens seulement de voir. MERCI j'y reviendrai.

julian · August 2020

Gebrane..... Renseigne toi

gebrane · August 2020

Julian c'est difficile tous ça pour moi sans voir ta solution. Si je raisonne par l absurde et si je tombe sur une contradiction, comment conclure après? peut etre l'absurdité vient d' un calcul faux ou d' un raisonnement faux.
donne moi un poisson: ta solution

raoul.S · August 2020

@gebrane je crois bien que julian ne te donnera aucun poisson et ne t'apprendra pas à pêcher...il est trop occupé à forger. (:D

gebrane · August 2020

Non Raoul, il pèche à l' étang des forges

Namiswan · August 2020

Sinon, je suis pour ma part intéressé par la référence de MrJ sur l'impossibilité d'un contre exemple analytique.

raoul.S · August 2020

Je ne connaissais pas https://goo.gl/maps/DM4ntqtmtVxQRWib7

MrJ · August 2020

@Namiswan : Le message que j’avais trouvé dans les entrailles du forum est le suivant : Lien.

Plus généralement, d’après ce message, il semblerait que si les fonctions $f$ et $g$ ont un nombre fini de points fixes (c’est une hypothèse plus faible que l’analycité par le principe des zéros isolés et la compacité du segment), alors elles admettent un point fixe commun.

Par contre, je ne sais pas si c’est difficile ou pas à démontrer et je n’ai malheureusement pas le temps d’y réfléchir actuellement.