Inégalité
$\newcommand{\dist}{\mathrm{dist}}$Bonsoir, j'ai besoin d'aide s'il vous plaît.
On me donne quatre cubes disjoints $Q_0,\,Q_1,\,Q_2$ et $Q_3$ de même longueur tels que \[
\dist(x,Q_3)>\dist(x,Q_2)>\dist(x,Q_1),\quad \forall x\in Q_0.
\] Puis on me dit qu'il existe $c>0$ indépendant de $x $ tel que \[
\ln(e+\dist(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).
\] Mais je ne vois pas cet inégalité.
Je partais du fait que $\dist(x,Q_1)>\frac{1}{2}long(Q_0)$,
mais je n'obtiens pas le résultat souhaité.
Bien cordialement.
[small][Correction de "quatre" sans 's' (merci à EV) AD][/small]
On me donne quatre cubes disjoints $Q_0,\,Q_1,\,Q_2$ et $Q_3$ de même longueur tels que \[
\dist(x,Q_3)>\dist(x,Q_2)>\dist(x,Q_1),\quad \forall x\in Q_0.
\] Puis on me dit qu'il existe $c>0$ indépendant de $x $ tel que \[
\ln(e+\dist(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).
\] Mais je ne vois pas cet inégalité.
Je partais du fait que $\dist(x,Q_1)>\frac{1}{2}long(Q_0)$,
mais je n'obtiens pas le résultat souhaité.
Bien cordialement.
[small][Correction de "quatre" sans 's' (merci à EV) AD][/small]
Réponses
-
Bonjour,
Tu n'es pas clair sur les hypothèses et le résultat cherché.
L'inégalité revient à $d(x,Q_3) \geq (e+3)^c-e$ qui, pour $c>0$ couvre $[0, +\infty[.$ Donc on a aucune contrainte sur $d(x,Q_3)$, non ? -
Oui.
Pour être plus exact, les $(Q_i)_i $ forment une partition de $\mathbb{R}^n$ où on les a ordonné comme ci-haut. -
Bonjour,
Toujours pas.
Quand tu écris, 'on me dit que', c'est une hypothèse ou une implication ? -
Je veux montrer que si
\[d(x,Q_3)>d(x,Q_2)>d(x,Q_1)\] alors il existe $c>0$ tel que \[\ln(e+d(x,Q_3))\geq c\ln(e+3).\] -
Le terme de gauche est supérieur ou égal à 1, donc en prenant $c = \frac{1}{2 \ln(e+3)}$ on a le résultat, même pas besoin de ton hypothèse
-
C'est bien vrai, mais ce n'est pas exactement ce que je recherche.
L'objectif final est de montrer que pour tout $j\geq1$, si \[
d(x,Q_j)>\cdots >d(x,Q_1)\] alors il existe $c>0$ indépendant de $j $ tel que \[\ln(e+d(x,Q_j))\geq c\ln(e+j).
\] Comme indication on dit qu'il y a au plus $(2j)^n$ cubes tels que la distance de $x $ à chacun de ses cubes est plus petit que $j\mathrm{long} (Q_0) $.
Mais je ne vois pas comment l'utiliser. -
On dirait un énoncé fortement incomplet, et une tentative de résolution qui ne tient pas compte de la totalité de l'énoncé. L'idée que des cubes puissent être une partition (au départ, il y en avait seulement 4 ! ) de $\mathbb R^n$ par exemple demande à être précisée. Elle heurte les hypothèses posées au départ. Sans compter qu'avec des cubes identiques, on ne peut pas partitionner $\mathbb R^n$ sans leur imposer des conditions de bord adéquates.
Cordialement.
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Bonjour!
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