Distributions tempérées

Bonsoir,
Quelle est la définition d’une distribution tempérée ?

mati pour rafraîchir ta mémoire.http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1694710,1694710#msg-1694710

Bonjour,
La fonction $f\ \colon x\mapsto -e^x$ vérifie les hypothèses mais n'est pas une distribution tempérée (pourquoi ?).
Les bonnes hypothèses sont plutôt : il existe un polynôme $P$ (à $n$ variables et à coefficients réels) tel que $\left\vert f(x)\right\vert\leqslant\left\vert P(x)\right\vert$ pour tout $x$ dans $\R^n$.

mati $x\mapsto e^x$ est tempérée ?

mati ne vois-tu pas la différence entre $f$ majorée par un polynôme et $|f(x)|\leq |P(x)|,\ \forall x$ ?
PM dit que $-e^x$ est majoré par le polynôme nul, pourtant ce n'est pas une tempérée

Si $f$ est majoré par un polynôme, alors pour tout $\phi \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$,

$$\left| \int_{\mathbb{R}^n} \phi(x) f(x) dx \right| \leq \cdots $$

Prend le temps qu' il faut pour chercher un bon cours er bien l'étudier. je ne veux pas te donner une solution complète, car je veux t 'aider et non pas montrer à tes lecteurs que je sais faire.
édit posté avant de voir le post de PM

Tu as définis plusieurs types de semi-normes qui engendrent la même topologie : $N_{P,\alpha}$ où $P$ est un polynôme quelconque et $\alpha$ un multi-indice fixé,
les $\mathcal{N}_p$ avec $p$ entier naturel, tels que je les ai définis dans mon précédent message, qui font intervenir une somme de normes des monômes unitaires de degrés au plus $p$ multipliés par des différentielle d'ordre $\alpha$ avec $\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p$, on peut aussi prendre les $\left\Vert\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^m D^\alpha(\varphi)\right\Vert_{\infty}$, ou encore d'autres variantes qui font intervenir des sommes de termes ou des max.
Il faut arriver à te convaincre que tout cela revient au même.

Question 1 :
Je note $N_{P,\alpha}\left(\varphi\right)=\left\Vert PD^\alpha\varphi\right\Vert_{\infty}$ (qui dépend d'un polynôme $P$ et d'un multi-indice $\alpha\in\N^n$).
Si $P$ et de degré $m$ et $C$ désigne le max des valeurs absolues des coefficients de $P$ (exprimé dans la base des $x^\beta$ où $\beta$ parcourt $\N^n$), alors $N_{P,\alpha}\leqslant C\mathcal{N}_p$, où $p$ est n'importe quel nombre entier naturel supérieur ou égal à $m$ et $\left\vert\alpha\right\vert$.
Dans l'autre sens, on peut remarquer que $\displaystyle\mathcal{N}_p=\sum_{\left\vert\alpha\right\vert,\left\vert\beta\right\vert\leqslant p} N_{x^\beta,\alpha}$.
Ceci permet d'ailleurs de démontrer que la topologie engendrée par les $N_{P,\alpha}$ et la même que celle engendrée par les $\mathcal{N}_p$.

Question 2 :
Cela signifie qu'il existe une constante positive réelle $C$ telle que $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^m$ pour tout $x$ dans $\R^n$.
Soit $C_1$ le sup de $\left\vert P\right\vert$ sur la boule unité pour la norme euclidienne $\Vert.\Vert$.
Supposons $P$ de degré $m$ et notons $C_2$ la somme des valeurs absolues des coefficients de $P$.
Si $\Vert x\Vert\geqslant 1$, on a $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C_2\Vert x\Vert^m\leqslant C_2\Vert x\Vert^{2m}$ (il faut d'abord commencer par voir que $\left\vert x^\alpha\right\vert\leqslant\left\Vert x\right\Vert^{\left\vert\alpha\right\vert}$ pour tout $x$ dans $\R^n$ et tout $\alpha$ dans $\N^n$).
Pour tout $x$ dans $\R^n$, on a donc $\left\vert P(x)\right\vert\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^{2m}\right)\leqslant C\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^m$ où $C=\max(C_1,C_2)$.

Question 3 :
Tu peux remarquer que $\varphi=D^\alpha\varphi$ où $\alpha=(0,\ldots,0)\in\N^n$.
Cela ne fait intervenir qu'une dérivée d'ordre 0 qui est bien comptabilisée dans la semi-norme $\mathcal{N}_p$.
Soit $Q$ un polynôme tel que $1/Q$ soit dans $L^1(\R^n)$.
Soit $f$ dans $L_{loc}^1(\R^n)$ et $P$ un polynôme tel que $\left\vert f\right\vert\leqslant\left\vert P\right\vert$ (presque partout). On suppose que $PQ$ est de degré $p$ et on écrit $\displaystyle PQ\ \colon x\mapsto\sum_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p} a_\alpha x^\alpha$.
On pose également $\displaystyle C=\Vert 1/Q\Vert_1\max_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p} \left\vert a_\alpha\right\vert$.
Alors, pour tout $\varphi$ dans $S(\R^n)$, on a :
\[ \left\vert\left\langle T_f,\varphi\right\rangle\right\vert \leqslant\int_{\R^n}\left\vert P(x)Q(x)\varphi(x)/Q(x)\right\vert dx
\leqslant \int_{\R^n}\sum_{\left\vert\alpha\right\vert\leqslant p}\left\vert a_\alpha\right\vert\left\vert x^\alpha\varphi(x)\right\vert/\left\vert Q(x)\right\vert dx\leqslant C\mathcal{N}_p\left(\varphi\right) \]

Évidemment, je me suis contraint à utiliser une semi-norme $\mathcal{N}_p$ mais l'écriture était beaucoup plus rapide avec une semi-norme $N_{P,\alpha}$ !
Pour tout $\varphi$ dans $S(\R^n)$, on a \[\left\vert\left\langle T_f,\varphi\right\rangle\right\vert\leqslant\int_{\R^n}\left\vert P(x)Q(x)\varphi(x)\right\vert/\left\vert Q(x)\right\vert dx
\leqslant\Vert 1/Q\Vert_1 N_{PQ,0}\left(\varphi\right)\]

Pour $Q$, je propose $\displaystyle Q\ \colon x\mapsto 1+\prod_{i=1}^n x_i^2$.

Bonjour Philippe Malot

Ne vois-tu pas qu'il fait une confusion entre ce qu'on suppose et ce qu'on veut démontrer?
Pour bien lui montrer, j'ai utilisé la continuité séquentielle pour faciliter la compréhension . Ce qu'on veut démontrer est que
$$<T_f,\phi_m>\to 0$$
A ce niveau il n y a ni un $\alpha$ ou un $\beta$, donc les questions sur les quantificateurs $\forall$ ou $\exists$ ne se posent pas pour ce qu'on veut démontrer.

mais ce qu'on suppose c'est la convergence des $(\phi_m)$ dans $S(\R^n)$ et c'est la qu'on voit apparaître $\forall \alpha $....

Par un raisonnement similaire à celui que j'ai fait dans mon dernier message, on voit que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux multi-indices, où les composantes de $\beta$ sont toutes nulles sauf une qui vaut $1$, alors pour toute fonction $\varphi$ dans $S(\R^n)$ et tout $x$ dans $\R^n$, on a :
\[\left\vert D^\alpha\varphi(x)\right\vert\leqslant\pi\left(1+\Vert x\Vert^2\right)\left\vert D^{\alpha+\beta}\varphi(x)\right\vert\;.\]

Je note $Q$ la fonction polynôme $x\mapsto\pi\left(1+\Vert x\Vert^2\right)$, alors pour toute fonction polynôme $P$, on a : \[N_{P,\alpha}\leqslant N_{PQ,\alpha+\beta}\;.\]
Par une récurrence facile que je n'ai pas envie d'écrire, si je pose $\beta=(r,\ldots,r)$ un multi-indice dont toutes les composantes sont égales à l'entier naturel $r$, alors pour tout $\alpha\leqslant\beta$ et toute fonction polynôme $P$, on a :
\[N_{P,\alpha}\leqslant N_{PQ^{nr},\beta}\;.\]

Par conséquent, si je choisis des fonctions polynômes $P_1,\ldots,P_m$ et des multi-indices $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$. Soit $r$ la plus grande composante d'un des $\alpha_i$, $\beta=(r,\ldots,r)$ et d'après ce qu'on a vu dans un de mes messages précédents, soit $P\ \colon x\mapsto C\left(1+\left\Vert x\right\Vert^2\right)^m$ une fonction polynôme telle que $\left\vert P_i\right\vert\leqslant\left\vert P\right\vert$ pour tout $i$, alors je dis que pour tout $i$ on a :
\[N_{P_i,\alpha_i}\leqslant N_{PQ^{nr},\beta}\;.\]

On peut remarquer que $PQ^{nr}$ est de la forme $x\mapsto C'\left(1+\Vert x\Vert^2\right)^{m'}$, ce qui montre qu'en se restreignant à ces semi-normes particulières (c'est une sous-famille de celle des $N_{P,\alpha}$), on a encore une famille de semi-normes qui jouit de cette bonne propriété d'être ordonnée filtrante croissante.