Calcul intégral 1

Salut, j'ai eu des difficultés pour faire résoudre l'exercice suivant.

On définit l'application $F : \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}$ par $\quad\displaystyle F(x) = \int_{0}^{+\infty}{\frac{ e^{-xt} }{1 + t^2}}$.
1. Montrer que $F$ est définie sur $\mathbb{R}_{+}$ et déterminer $\lim_{x \to+ \infty} F(x)$.
2. Etudier la continuité de $F$ sur $\mathbb{R}_{+}$.
3. Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R^*}_{+}$.
4. En déduire que $F$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = \frac{1}{x}$.

J'ai posé $f(t,x) = \dfrac{ e^{-xt} }{1 + t^2}$. J'ai un problème pour majorer $f$ et sa dérivée partielle par rapport $x$ par des fonctions intégrables et je me bute complètement à la dernière question.
Merci d'avance.