Distributions et mesure de Borel
dans Analyse
Bonsoir à tous
D'après le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_représentation_de_Riesz_(Riesz-Markov) , l'espace des mesures boréliennes $ \mathcal{M} (X) $ sur un espace topologique localement compact $ X $, s'identifie à un sous-espace du dual topologique de l'espace vectoriel $ \mathcal{C}_c (X , \mathbb{R} ) $ des fonctions réelles continues à support compact.
D'autre part, tout élément $ \mu \in \mathcal{M} (X) $ défini une distribution régulière, $ T_{ \mu } $ définie en visitant le lien suivant, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,898494,898607 .
Est-ce que cela signifie que, $ \mu $ s'identifie à une fonction localement intégrable. C'est-à-dire, $ \mu \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Parce que, pour définir une distribution régulière $ T $, il faut lui trouver une fonction $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T = T_f $. Est-ce que c'est ça ?
Merci d'avance.
D'après le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_représentation_de_Riesz_(Riesz-Markov) , l'espace des mesures boréliennes $ \mathcal{M} (X) $ sur un espace topologique localement compact $ X $, s'identifie à un sous-espace du dual topologique de l'espace vectoriel $ \mathcal{C}_c (X , \mathbb{R} ) $ des fonctions réelles continues à support compact.
D'autre part, tout élément $ \mu \in \mathcal{M} (X) $ défini une distribution régulière, $ T_{ \mu } $ définie en visitant le lien suivant, http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,898494,898607 .
Est-ce que cela signifie que, $ \mu $ s'identifie à une fonction localement intégrable. C'est-à-dire, $ \mu \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Parce que, pour définir une distribution régulière $ T $, il faut lui trouver une fonction $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T = T_f $. Est-ce que c'est ça ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Tu penses vraiment que la mesure de Dirac définit une distribution régulière ?
-
Ah oui, c'est vrai. Merci. Donc, une mesure de Dirac $ \delta $, est une mesure de Borel, donc, d'après le théorème de représentation de Riez, $ \delta $ s'identifie à un élément de $ \mathcal{C}_c ( X , \mathbb{R} )^{ \vee } $, qui se met sous la forme $ \delta \ : \ \mathcal{C}_c ( X , \mathbb{R} ) \to \mathbb{R} $ telle que, pour tout $ \phi \in \mathcal{C}_c ( X , \mathbb{R} ) $, $ \langle \delta , \phi \rangle = \displaystyle \int_X \phi d \delta = \phi (0) $.
Donc, $ \delta $ est un exemple de mesure de Borel qui est une distribution d'ordre, $ 0 $, mais, qui ne se met pas sous la forme d'une distribution régulière.
Merci Tryss.
Tryss, sais-tu pourquoi $ \delta $ ne se met pas sous la forme d'une distribution régulière $ T_f $ avec, $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ ?
Merci d'avance. -
Ça a été fait 10 fois sur ce forum. Cherche un peu.
-
@gerard0, je n'ai pas trouvé.
-
Bonjour,
Voici comment je raisonne,
Soit $ K \subset X $ un compact.
Supposons qu'il existe, $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T_f = \delta_0 $.
On aurait alors, pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X ) $, telle que, $ 0 \in \mathrm{supp} \ \varphi \subset K $,
$$ \langle \delta_0 , \varphi \rangle = \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = \varphi (0) \neq 0 $$
Par ailleurs, si pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X \backslash \{ 0 \} ) \subset \mathcal{C}_{0}^{ \infty } ( X ) $, $ \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = 0 $. alors, $ f = 0 $ $ \ \mathrm{p.p.} $ sur $ X \backslash \{ 0 \} $, et donc, sur $ X $.
Mais alors, pour toute $ \varphi \in \mathcal{C}_{0}^{ \infty } (X ) $, $ \displaystyle \int_K f(x) \varphi (x) dx = \displaystyle \int_K 0. \varphi (x) dx = 0 = \varphi (0) $. D'où contradiction.
Par conséquent, il n'existe aucune $ f \in L_{ \mathrm{loc} } (X) $ telle que, $ T_f = \delta_0 $.
Correct ? -
J'ai trouvé un fil qui peut t'intéresser où j' étais vraiment chiant avec reuns. regarde surtout la preuve de remarque.http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1244391,1244391#msg-1244391Le 😄 Farceur
-
D’ailleurs, reuns a disparu...?
-
J' espère que ce n'est pas à cause des chiants sur le forum. il est tres fort et tres apprécié sur ME.Le 😄 Farceur
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres