Fonction sinus intégrale
Réponses
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1) $g(t):=\frac{sin^2t}{t^2}$ Au voisinage de zéro, $g(t) \sim 1$, c'est un DL, en $\infty$, je compare à $t^{-2}$.
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3a) Inégalité des acrroisssements finis appliquée à $ x \mapsto \exp(-tx)$
3 b) en résulte car $\int_{\mathbb{R}+} g(t) < \infty$ -
4 a) Au voisinage de $0$, $\psi$ tend vers une valeur finie, en $+\infty$, j'applique le critère de Riemann.
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4c) $\psi$ est continue comme limite uniforme de fonctions continues.
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5) Je calcule le taux d'accroissement.
$ \frac{\psi_n(x+h) - \psi_n(x)}{h}= \int_{0}^n e^{-tx}(e^{-th}-1) \frac{1}{h} \frac{\sin t}{t} dt$
Je fais un développement limité de l'exponentielle, pour $h \to 0$
Donc $ \frac{\psi_n(x+h) - \psi_n(x)}{h} = \psi_n'(x) ( 1 +o(1))$ Le $o$ est une fonction de $h$.
$\psi_n(x)= \int_{0}^{x} \psi_n ' + 0$
Comme $\psi_n '$ converge uniformément vers $h$, on a $\psi(x)= \int_{0}^{x} h$. ,On peut intervertir limite et symbole intégrale.
Donc $h$ est la dérivée de $\psi$ pour $x > \rho$ . On a besoin de cette dernière hypothèse pour la convergence uniforme.
Je ne saisi pas ce qu'il faut faire. -
6) Je fais une intégration par parties deux fois, $h(x) = - \frac{1}{1+ x^2}$
J'intègre et $\psi(x)=- \arctan (x)+ C$ , avec $C$ une constante à déterminer.
Mais $\psi(x) \underset{ x\to \infty}{\to} 0$ et $\arctan(x) \underset{ x\to \infty}{\to} \frac{\pi}{2}$
donc $C=\frac{\pi}{2}$ -
7 c) D'après 7 b) $\psi$ est continue.
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7 d) D'après 6) , $\psi(0) = \frac{\pi}{2}$ On passe à la limite en $0$.
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Bonjour
Voici quelques indications pour t'aider.
1. Pour la question 2. Faire une IPP (en intégrant $1/t^2$ tu fait apparaître $1/t$).
4 d) Majorer |sin(t)\t | par 1 .
5. Je ne m' embarrasse pas à comprendre l'indication:
$\dfrac { \psi(x+h)-\psi(x)}{h} =\dfrac { \psi_n (x+h)-\psi _n (x)}{h}+ \int_n^\infty e^{-tx} \dfrac{e^{-th} - 1}{h} \dfrac{\sin(t) }{t} dt $
Ce deuxième terme intégral ne pose pas de problème. En fait tu le majores en valeur absolue uniformément par
$\int_n^{\infty} e^{-\rho t} dt$ et ce terme va tendre vers 0 .
Donc tu as
$|\dfrac { \psi(x+h)-\psi(x)}{h}-h(x) | \leq |\dfrac { \psi_n (x+h)-\psi_n (x)}{h}-\psi'_n(x)|+ |\psi'_{n}(x) - h(x)|+ |\int_n^\infty e^{-tx} \dfrac{e^{-th} - 1}{h} \dfrac{\sin(t)}{t} dt| $
il reste à faire à prendre n assez grand et majorer par un epsilon pour h assez petit (en utilisant les résultats admis pour $\psi_n$ ) -
Merci.
4d) $ \forall t, \exists ~ c, \frac{ \sin(t) - \sin(0) }{t-0} = \cos(c)$ ce qui va entraîner $|\psi(x) | \leq \frac{1}{x}|$. -
4 b) Avec la même majoration de $\frac{ \sin(t)}{t} $,
$|\psi_n(x)- \psi(x)| \leq \int_{n}^{+\infty} e^{-tx} \leq \int_{n}^{+\infty} e^{- \rho x} \underset{ n \to \infty}{\rightarrow} 0$
C'est une majoration uniforme. -
J'aimerais savoir à quel niveau ce problème est posé, quels sont les théorèmes que l'on peut utiliser. J'ai l'impression qu'on ne dispose pas des théorèmes de convergence dominée.
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C'est un exercice de niveau prépa HEC. Il n'y a pas de théorèmes de convergence dominée ou d'intégrale de Lebesgue.
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Rebonjour
Pour la 7 .a c'est encore une IPP . Tu pars de l'intégrale $\psi(x)-\psi(0)$ et c'est le terme sin(t) qu'on intègre l'autre terme on dérive. Il y aura ensuite un changement de variable u=tx. Attention on va avoir un terme de bord = à -x qu'il faudra entrer dans l'intégrale finale.
Ou alors plus simplement on part de l'expression intégrale qui est donné et c'est sur elle qu'on fait une IPP -
Moi je me pose une question: est ce qu'on a besoin de ce niveau en mathématiques pour une Ecole des Hautes Etudes CommercialesLe 😄 Farceur
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@ Zestiria
Oui ça me donnait l'impression d'un problème de prépa-HEC, alors que des théorèmes de Maths-Spé permettent de traiter les questions de façon plus rapide, sans pour autant entrer dans toute la théorie de l'intégrale de Lebesgue.
@ Gebrane
Réjouis-toi au contraire qu'on fasse des mathématiques intéressantes dans les classes préparatoires aux écoles de commerce. Peut-être y enseigneras-tu un jour ?
Bonne soirée.
Fr. ch. -
7) $\psi(x) = \int_{0}^{+\infty} e^{-tx} \frac{\sin(t)}{t} dt$ et $\psi(0) = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} $
donc $\psi(x) - \psi(0) =\int_{0}^{+\infty} \frac{ e^{-tx} -1}{ t} \sin(t) dt$
Soit $v(t) = \frac{ e^{-tx} -1}{ t}$ alors $v' (t) = \frac{tx e^{-tx} - e^{-tx} +1 }{ t^2}$
donc $\psi(x) - \psi(0) = [ -v(t) \cos(t)]_{0}^{+ \infty} + \int_{0}^{+\infty} v(t) \cos(t) dt = -x + \int_{0}^{+\infty} x \cos(\frac{x}{u}) \frac{1 - e^{-u} (1+u)}{u^2} du $
Comment est-ce que je rentre le terme de bord ? -
Rebonjour
Tu utilises le fait que $\quad\displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{1-e^{-u}(1+u)}{u^2} du =1$ .
Cette intégrale se calcule bien car une primitive de la fonction à intégrer est $-\dfrac{1-e^{-u}}{u}.$
Mais si on n'arrivait pas à calculer cette intégrale, j'avais proposé de prendre le calcul en partant de la formule donnée ; ça doit marcher (bien que j'ai la flemme d'essayer.) -
Merci, cela finit l'exercice.
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bonjour
pour répondre à la question existentialiste de Gebrane
à propos du programme de math des classes prépa aux écoles de commerce :
oui ce programme est relevé et intéressant comme l'a souligné Chaurien,
c'est le cas aussi de celui des universités qui proposent les sections
IAE (instituts d'administration des entreprises) et GEA (gestion et économie appliquée)
le concours des HEC et autres Ecoles de commerce est exigent et les programmes sont riches en mathématiques
et aussi en sciences économiques et sociales (pour les candidats bacheliers issus de l'ancienne section ES)
avec un esprit moderne des épreuves en sciences sociales qui valorise la personnalité des candidats
cordialement -
Merci JL, mais sérieusement je me demande le pourquoi de l'exigence d' un tel niveau, car je suis certain que après, tout cet apprentissage sera oublié lorsque on devient cadre commercial ou administratif. Moi je trouve que c'est un gachis faire les maths uniquement pour le plaisir de faire les maths sans but pour un profil qui n'a pas vraiment besoin des maths approfondisLe 😄 Farceur
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