Majoration par une norme

Tryss · August 2020

Bonjour

Soit $E$ un espace vectoriel normé réel de dimension dénombrable, et $B = (e_i)_{i\in \mathbb{N}}$ une base de $E$ avec $\forall i,\ \|e_i\| = 1$.

Voici ma question. Est-ce qu'il existe une constante $C$ telle que, si on note $x = \sum_{k=0}^n x_k e_k$ la décomposition de $x$ dans la base $B$
$$\forall x \in E, \qquad \bigg| \sum_{k=0}^n \frac{x_k}{k^2} \bigg| \leq C\|x\| \quad ?

$$ J'ai la désagréable impression que c'est simple, mais que je passe à coté.

Calli · August 2020

Bonjour,
Tu peux essayer avec la norme $\left\|\sum_{k=1}^n x_k e_k\right\| := \sum_{k=1}^n k^{-3} |x_k|$.
[small](Il faut faire commencer la numérotation de la base à 1 car sinon $k^{-2}$ n'est pas défini pour $k=0$.)[/small]

gebrane · August 2020

Calli les normes en dimension dénombrables sont équivalentes?

Tryss · August 2020

Calli : dans ton exemple, les $e_n$ ne sont pas de norme 1

Gebrane : non, pas du tout. Pour s'en convaincre, on peut considérer la norme infini et la norme $l^1$ sur les suites à support fini

Calli · August 2020

Tryss : Oups.

Calli · August 2020

Et avec $\displaystyle \left\|\sum_{k=1}^{2n} x_k e_k\right\| := \sum_{k=1}^n \frac{k^3|x_{2k-1}-x_{2k}|+|x_{2k-1}+x_{2k}|}{k^3+1}$ en testant l'inégalité sur $e_{2k-1}+e_{2k}$ ?

Tryss · August 2020

Merci !

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Bonjour!

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