Majoration par une norme
Bonjour
Soit $E$ un espace vectoriel normé réel de dimension dénombrable, et $B = (e_i)_{i\in \mathbb{N}}$ une base de $E$ avec $\forall i,\ \|e_i\| = 1$.
Voici ma question. Est-ce qu'il existe une constante $C$ telle que, si on note $x = \sum_{k=0}^n x_k e_k$ la décomposition de $x$ dans la base $B$
$$\forall x \in E, \qquad \bigg| \sum_{k=0}^n \frac{x_k}{k^2} \bigg| \leq C\|x\| \quad ?
$$ J'ai la désagréable impression que c'est simple, mais que je passe à coté.
Soit $E$ un espace vectoriel normé réel de dimension dénombrable, et $B = (e_i)_{i\in \mathbb{N}}$ une base de $E$ avec $\forall i,\ \|e_i\| = 1$.
Voici ma question. Est-ce qu'il existe une constante $C$ telle que, si on note $x = \sum_{k=0}^n x_k e_k$ la décomposition de $x$ dans la base $B$
$$\forall x \in E, \qquad \bigg| \sum_{k=0}^n \frac{x_k}{k^2} \bigg| \leq C\|x\| \quad ?
$$ J'ai la désagréable impression que c'est simple, mais que je passe à coté.
Réponses
-
Bonjour,
Tu peux essayer avec la norme $\left\|\sum_{k=1}^n x_k e_k\right\| := \sum_{k=1}^n k^{-3} |x_k|$.
[small](Il faut faire commencer la numérotation de la base à 1 car sinon $k^{-2}$ n'est pas défini pour $k=0$.)[/small] -
Calli les normes en dimension dénombrables sont équivalentes?Le 😄 Farceur
-
Calli : dans ton exemple, les $e_n$ ne sont pas de norme 1
Gebrane : non, pas du tout. Pour s'en convaincre, on peut considérer la norme infini et la norme $l^1$ sur les suites à support fini -
Tryss : Oups.
-
Et avec $\displaystyle \left\|\sum_{k=1}^{2n} x_k e_k\right\| := \sum_{k=1}^n \frac{k^3|x_{2k-1}-x_{2k}|+|x_{2k-1}+x_{2k}|}{k^3+1}$ en testant l'inégalité sur $e_{2k-1}+e_{2k}$ ?
-
Merci !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres