Étude de $\sum_{k\ge1}\dfrac{\cos kx}{k^2}$

zestiria
zestiria
dans Analyse
Je fais cet exercice.108008

Réponses

  • zestiria
    zestiria
    1) On majore le $\cos$ par $1$ les deux séries sont absolument convergentes, donc convergentes, pour tout $x$.
    $\cos^2(a)= \frac{1+ \cos(2a)}{2}$d'où $ g(x)= \frac{ \pi^2}{2 \times6} + \frac{f(2x)}{2} $
    Les deux fonctions sont paires et périodiques de période $ 2 \pi$.
  • zestiria
    zestiria
    $
    \begin{align*}
    S_n'(x) & = - \sum_{k=1} ^{n} \sin (kx) \\
    &= - \mathcal{Im} \big( \frac{ e^{ix} - e^{ix (n+1)} }{e^{i 0} - e^{ ix}} \big) \\
    &= - \mathcal{Im} \big( \frac{ e^{ix} - e^{ix (n+1)} }{ (e^{-i\frac{x}{2} } - e^{ \frac{ ix}{2} } ) e^{\frac{ix}{2}} } \big) \\
    &= - \mathcal{Im} \big(

    e^{ix} \times \dfrac{ e^{-i\frac{nx}{2}} - e^{i \frac{nx}{2}} }{ (e^{-i\frac{x}{2} } - e^{ \frac{ ix}{2} } ) e^{\frac{ix}{2}} } \times e^{i \frac{nx}{2}} \big) \\

    &= - \dfrac{ \sin( \frac{nx}{2}) \sin ( \frac{(n+1)x}{2} ) } { \sin( \frac{x}{2} )} \\


    &=- \frac{ \cos( \frac{x}{2} ) - \cos ( \frac{ (2n+1)x } { 2 } ) } { 2 \sin( \frac{x}{2} ) } \\

    \end{align*}

    $

    Il faut factoriser par l'angle moitié. Comment je fais pour intégrer cela ?
  • zestiria
    zestiria
    3) Comme $\forall z, cos^2(z)+ sin^2(z) =1$, la somme des deux séries diverge car la série de terme $\frac{1}{k}$ diverge, donc au moins une diverge.

    Comment prouver que les deux divergent ?
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Il ne manque pas des 2 dans ta relation http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2076086,2076088#msg-2076088 ?
  • zestiria
    zestiria
    $\cos^2(a)= \frac{1+ \cos(2a)}{2}$
    $ \frac{ \cos^2(kx) } { k^2} =\frac{ 1 + \cos(2kx)}{2 k^2} $
    d'où $ g(x)= \frac{ \pi^2}{2 \times6} + \frac{f(2x)}{2} $

    Cela va mieux ?
  • Calli
    Calli
    Oui.
  • zestiria
    zestiria
    3)

    La série de terme général $ \frac{sin^2(nx) }{n} + \frac{cos^2(nx) }{n} $ diverge, on retrouve la série harmonique, donc au moins une diverge.
    Il s'agit de séries à termes positifs.

    $\sum_{n=1}^{N} \frac{sin^2(nx) }{n}= \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} \frac{ \cos(2nx)}{n}$
    La série harmonique diverge, et la seconde converge $(\star)$, donc la série de terme général $ \frac{sin^2(nx) }{n}$ diverge.

    De même la série $ \frac{cos^2(nx) }{n}$ diverge.


    Pour $(\star)$, il faut utiliser le critère de Dirichlet ici.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour
    tu considères la série de Fourier convergente avec $x$ réelle différente de $k\pi$ :

    $\frac{x}{2} = \sin x - \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{3}\sin(3x) - \cdots+ (-1)^{n-1}\frac{1}{n}\sin(n x) +\ldots$

    Tu peux intégrer membre à membre connaissant la série numérique alternée de Riemann :
    $\frac{\pi^2}{12} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$, qui te donne la constante d'intégration pour $x = 0$ soit :
    $\frac{\pi^2 - 3x^2}{12} = \sum\limits_{k=1}^{+\infty}(-1)^{k-1}\frac{1}{k^2}\cos(kx).$ Et si $x$ devient $\pi - x$ il vient :
    $$
    f(x) = \frac{3x^2 - 6\pi x + 2\pi^2}{12} = \sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\cos(kx).

    $$ Concernant la série trigonométrique : $g(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{\cos^2(k.x)}{k^2}$
    tu utilises la relation trigo : $\cos^2(k x) = \frac{1+\cos(2kx)}{2}$ il vient :
    $2g(x) = \sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}\cos(2kx) = \frac{\pi^2}{6} + f(x/2)$. Soit encore
    $$g(x) = \frac{3x^2 - 6\pi x + 8\pi^2}{48}.

    $$ $f$ et $g$ correspondent à deux séries convergentes, par contre les trois dernières séries proposées sont divergentes quelle que soit $x$ (comparaison avec les intégrales).

    Cordialement.
  • zestiria
    zestiria
    4) $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{ \mid \sin (kx) \mid}{k} \ge \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{ \sin (kx)^2}{k}$ et la dernière intégrale diverge.
  • zestiria
    zestiria
    Merci et je ne saisis pas l'argument sur la comparaison série / intégrale.

    La série et l'intégrale correspondante ont même nature, si $f$ est monotone. C'est comme cela qu'on prouve le critère de Riemann, par des encadrements de rectangles.

    Ici, les fonctions à intégrer ne sont pas monotones.
  • zestiria
    zestiria
    2c)
    $
    \begin{align*}
    S_n(x) &= \sum_{k=1}^n \frac{\cos(kx)}{x} \\
    & = \sum_{k=1}^{n} \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} - \sin(kt) dt \\
    &=- \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{ \cos( \frac{t}{2} ) - \cos ( \frac{ (2n+1)t } { 2 } ) } { 2 \sin( \frac{t}{2} ) } dt \\
    &= - \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{ \cos( \frac{t}{2}) }{2 \sin( \frac{t}{2}) } dt + \int_{\frac{\pi}{2}}^{x} \frac{ \cos ( \frac{ (2n+1)t } { 2 } ) } { 2 \sin( \frac{t}{2} ) } dt \\

    \end{align*}

    $

    J'intègre à partir de $\frac{\pi}{2}$, pour avoir une constante d’intégration nulle à la seconde ligne.
    Je pose $u(t)=\dfrac{1}{2 \sin(\frac{t}{2}) }$ ne s'annule pas pour $t>0$ et est bien continue.
    Je peux appliquer le lemme $\int_{\frac{\pi}{2}}^{x} u(t) \cos(nt) \underset{ n \to \infty}{\to} 0 $
    Pour la première intégrale, on pose le changement de variable $u= \sin(\frac{t}{2}) $

    Finalement, $S_n(x) =\ln(\cos( \frac{t}{2} ))$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 5

DomJean-Louis Aymebiguine_equation +2 Invités