Étude de $g(x) = f(\sqrt{x})$
Bonjour
Je suis tombé sur un exercice dont je n'arrive pas à trouver la solution. Peut-être est-elle triviale, mais je ne vois pas ...
On prend $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, et on définit $g: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}$ par : $\forall x \geq 0,\ g(x) = f(\sqrt{x})$.
On demande une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que $g \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.
En faisant à la main (je veux dire par là en dérivant une ou deux fois $g$, et en utilisant un développement limité de $f$), je trouve comme condition nécessaire $f'(0) = f^{(3)}(0) = 0$. Je me dis donc que la condition recherchée est peut-être : $\forall k \in \mathbb{N},\ f^{(2k + 1)}(0) = 0$, mais même avec cette idée (peut-être fausse), je n'arrive pas à avancer ...
Si vous pouviez m'aider, je vous en serais reconnaissant.
Merci d'avance, et bonne soirée.
Je suis tombé sur un exercice dont je n'arrive pas à trouver la solution. Peut-être est-elle triviale, mais je ne vois pas ...
On prend $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, et on définit $g: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}$ par : $\forall x \geq 0,\ g(x) = f(\sqrt{x})$.
On demande une condition nécessaire et suffisante sur $f$ pour que $g \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.
En faisant à la main (je veux dire par là en dérivant une ou deux fois $g$, et en utilisant un développement limité de $f$), je trouve comme condition nécessaire $f'(0) = f^{(3)}(0) = 0$. Je me dis donc que la condition recherchée est peut-être : $\forall k \in \mathbb{N},\ f^{(2k + 1)}(0) = 0$, mais même avec cette idée (peut-être fausse), je n'arrive pas à avancer ...
Si vous pouviez m'aider, je vous en serais reconnaissant.
Merci d'avance, et bonne soirée.
Réponses
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Si je ne dis rien de sot, le DL de g(x^2) à tout ordre ne donne que des termes pairs et cette fonction étant égale à f, les DL à tous ordres sont égaux puis l'unicité te donne bien ta condition sur les dérivées d'ordre impair.
Pour vérifier que ça suffit je t'invite à bien examiner le cas de la première dérivée, si f vérifie les conditions de dérivées impaires en 0 nulles. -
RLC je ne sais pas ce que tu veux dire par le DL de g(x^2) à tout ordre ne donne que des termes pairs , prendre $g(x)=\sqrt x$Le 😄 Farceur
-
En supposant g adéquate (C^infini), par simple composition du DL. Effectivement pas en général. -
Charlie peux-tu commencer par donner une cns avec preuve pour que g soit dérivable en 0Le 😄 Farceur
-
Bonsoir,
Déjà, merci pour vos réponses !
Ensuite, par rapport au dernier message de gebrane:
On a le DL d'ordre 2 en 0 de f: $f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{f''(0)}{2}x^{2} + o(x^{2})$, donc $g(x) = f(\sqrt{x}) = f(0) + \sqrt{x}f'(0) + \frac{f''(0)}{2}x + o(x)$, d'où $\frac{g(x) - g(0)}{x} = \frac{\sqrt{x}f'(0) + \frac{f''(0)}{2}x + o(x)}{x}$ qui tend vers une limite finie (quand x tend vers 0) si et seulement si $f'(0) = 0$. Donc la CNS est ici $f'(0) = 0$.
Par rapport à vos premiers messages:
Pour la condition nécessaire, effectivement j'ai bien compris que si l'on suppose que g est $\mathcal{C}^{\infty}$, on déduit de $g(x^{2}) = f(x)$ pour $x \geq 0$, en utilisant des DL, que les dérivées de f d'ordre impair en 0 sont nulles.
Pour la condition suffisante, on suppose donc que $\forall k \in \mathbb{N}, f^{(2k + 1)}(0) = 0$. On sait déjà que g est $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ par composition. Avec ce qu'on a vu au-dessus, on sait que $g$ est dérivable en 0, et mieux, si on détermine g'(x) pour x > 0, on trouve que g' est continue. Mais je ne vois pas (comme le suggéraient Riemann_lapins_crétins et probablement gebrane dans son dernier message) comment montrer cela aux ordres supérieurs: l'expression de $g^{(k)}$ n'est pas particulièrement facile à manipuler ...
Merci encore, et merci pour vos éventuelles participations futures. Je vais continuer d'y réfléchir; après tout, peut-être aurai-je une révélation d'ici demain ... -
Se trimballer avec la dérivée d'ordre n d'une fonction composée n'est pas une bonne idée (tu peux googler si la formule t'intrigue).
En général les problèmes de fonctions C^infini reposent plutôt sur un problème de récurrence, d'où la nécessité de bien comprendre à fond pourquoi le cas n=1 marche. -
Bonjour
Merci pour votre dernier message; cependant, je n’arrive pas vraiment à voir l’idée ici ...
Pour le cas $n = 1$, on a: $\forall x > 0,\ g’(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}f’(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}(f’(0) + \sqrt{x}f’’(0) + o(\sqrt{x})) = f’’(0)/2 + o(1)$, ce qui tend donc vers $f’’(0)/2$ en $0$. Ici, on a donc utilisé $f’(0) = 0$.
Et d’un autre côté, comme je l’avais fait dans un message précédent, on trouve que $g’(0) = f’’(0)/2$, là encore en utilisant $f’(0) = 0$. Donc $g$ est dérivable de dérivée continue.
J’ai cherché à établir un lien entre $g’$ et $g$ pour pouvoir appliquer une récurrence, sans trop de succès ... Je n’arrive pas à voir comment ce cas $n = 1$ permet de montrer que $g$ est infiniment dérivable.
Merci d’avance pour d’éventuelles autres indications,
Bonne journée.
[En $\LaTeX$, c'est toutes les expressions mathématiques que l'on encadrepar des $\$$. ;-) AD] -
Charlie je te donne des liens et tu vas nous rédiger
une belle preuve de ce résultat
https://mathoverflow.net/questions/77120/smoothness-of-f-sqrt-xSoit f une fonction paire $C^{\infty}$ sur $\mathbb R$ alors la fonction g définie par $g(x)=f(\sqrt x)$ est $C^{\infty}$ sur $ [0,+\infty[$
https://mathoverflow.net/questions/83734/a-smoothness-of-f-sqrtp-x/83821#83821
https://math.stackexchange.com/questions/3771436/smoothness-of-an-even-function-of-a-square-root
https://mathoverflow.net/questions/72497/if-f-is-smooth-and-even-then-there-exists-a-smooth-function-g-such-that-fx
https://projecteuclid.org/download/imagefirstpage_1/euclid.dmj/1077471799
https://mathoverflow.net/questions/65264/integral-representation-of-higher-order-derivatives
Pour être plus précis
1- démontre par récurrence que $g^{(k)}(x^2)=\frac{(2x)^{-2k+1}}{(k-1)!} \int_0^x (x^2-t^2)^{k-1} f^{(2k)}(t) dt.$
2- En utilisant le théorème de convergence dominé après avoir posé $t=xs$ et conclure
edit N.B dans les liens on ne démontre pas la formule et on n'explique pas comment l'utiliserLe 😄 Farceur -
Bonjour
On a $g$ est continue sur $[0,+\infty[$ et $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$, d'après un résultat d'analyse, il suffit de montrer que
$$\forall n\geq 1, \quad \lim_{x\to0^+} g^{(n)} (x)\mbox { existe }.
$$ Un DL à l'ordre $2n+2$ de $f$ et le fait que $f^{(2k+1)}(0)=0$, pour tout $k\in\N$ permet de conclure. -
Bonjour,
Merci pour vos réponses !
@gebrane:
Merci pour tous ces liens ! Je vais regarder ça.
Juste une petite question par rapport à votre point 1: je n'ai pas l'habitude de manipuler des intégrales contenant à la fois la variable de la fonction et celle d'intégration. Y a-t-il des méthodes particulières pour dériver quelque chose comme ça ? Parce que je veux bien passer par la formule du binôme puis dériver, mais le résultat est franchement peu sympathique ...
Pour le point 2, je devrai regarder en détail ce qu'est ce théorème, je connais l'idée, mais pas le théorème exact (je ne l'ai pas précisé, mais j'ai un niveau MPSI).
@abdelbaki.attioui:
Je suis bien d'accord qu'il suffit de montrer cela.
On écrit donc que $f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n + 1} \frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k} + o(x^{2n + 2}) $. On peut en déduire que $g(x) = f(\sqrt{x}) = \sum\limits_{k = 0}^{n + 1} \frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{k} + o(x^{n + 1}) $. Mais là encore, je ne vois pas vraiment comment faire intervenir $g^{(n)}$ ...
Il faut vraiment que je me remette à l'analyse moi ...
Bonne journée à vous. -
Charlie,
Il y a un théorème pour dériver par rapport à x une fonction F de la forme
edit $F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} h(t,x) dt$ mais en mpsi je ne crois pas qu'on rencontre le théorème de dérivation sous le signe intégrale
Le mystère que j'ai rencontré aussi c'est comment passer à la limite quand $x\to o^+$ dans l expression 1, j'ai eu l'idée de fixer la borne d’intégration à 1, après on voit des simplifications magiques et une application après du théorème de convergence dominé
Si quelqu'un peut calculer cette limite avec les moyens de mpsi sans le TCD, alors bravoLe 😄 Farceur -
supp
-
side comment ça , on tourne tous en rond. as tu compris la façon que j ai proposé ? ( qui ne vient pas de moi)Le 😄 Farceur
-
@gebrane
D'accord, merci pour les réponses ! Bon après, cet exercice était présenté tel quel comme un exercice d'oral de concours, sans indication supplémentaire, et était supposé être accessible à un élève de première année. Je pense que votre méthode n'était donc pas celle envisagée (quoiqu'elle soit bien sympathique [mais encore faut-il avoir l'idée de la récurrence ...]).
@side
Pour dérivabilité et $\mathcal{C}^{1}$ c'est bon, je l'ai fait.
Pour le résultat dont vous parlez avec Taylor avec reste intégral (effectivement au programme de MPSI):
$h(x) = T_{n, h, 0}(x) + \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{n!}h^{(n + 1)}(t) dt = T_{n, h, 0}(x) + \frac{x^{n + 1}}{n!} \int_{0}^{1} (1 - u)^{n} h^{(n + 1)}(ux) du$ en notant $T_{n, h, 0}$ le polynôme de Taylor de h à l'ordre n en 0.
En divisant par x, puisque h(0) = 0, $\frac{T_{n, h, 0}(x)}{x}$ ne pose pas de problème. Mais pour $\frac{x^{n}}{n!} \int_{0}^{1} (1 - u)^{n} h^{(n + 1)}(ux) du$, je ne vois pas comment justifier le caractère $\mathcal{C}^{\infty}$ ...
Mais admettant cela, on sait déjà que $\forall x > 0, g'(x) = \frac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$. Et là, comme je l'avais indiqué précédemment (et malgré le résultat ci-dessus), je ne vois pas comment faire apparaître g pour établir la récurrence (enfin, l'hérédité).
Merci à vous dans tous les cas. Je vais vraiment essayer de me pencher sur d'autres choses, et revenir ensuite sur ça, parce que là, j'ai bien l'impression de faire un peu n'importe quoi ... -
supp
-
J' ai une question car j' ai oublié pas mal de propriétés des dl.
si f est indéfiniment dérivable sur $]0,+\infty[ $ et admet un dl en 0 à tout ordre, peut-on conclure que f est indéfiniment dérivable en 0 ? sinon un contre exemple sera le bienvenu(e)Le 😄 Farceur -
Que penses-tu de $f(x)=e^{-1/x^2}\sin(e^{1/x^2})$ ?
-
Merci Poirot. Ceci donne une preuve simple à la question de Charlie
posté avant de voir le contre de JLT
méditerLe 😄 Farceur -
Charlie12 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2076912,2077564#msg-2077564
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Alors $g^{(n)}(0)=n!\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}$. -
attioui veux-tu bien expliquer ta preuve. merciLe 😄 Farceur
-
Un exemple amusant est avec $f(x)=\cos(x)$Le 😄 Farceur
-
Bonjour
Après une petite recherche dans les archives (papiers) cet exercice fut il y a très longtemps ci-joint sa source: J. Dieudonné Elément d'analyse Tome 1
Je n'ai pas pu joindre l'image! -
Enfin l'image
-
Bonjour,
On fait donc un dl en 0 à l'ordre 2n de f , ce qui donne $f(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n } \frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{2k} + x^{2n }\epsilon (x)$ Puisque $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ regarde l’exercice 6-a de A.Attioui et essaie de montrer que $\epsilon$ peut être prolongé en une fonction $C^{\infty}$ au voisinage de 0, donc toutes ces dérivées sont continues et donc bornées au voisinage de 0 ( c'est très important).
$$\forall x\geq0,\quad g(x)= \sum\limits_{k = 0}^{n } \frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}x^{k} + x^{n }\epsilon (\sqrt x)=g_1(x)+g_2(x)$$
avec$g_2(x)=x^{n }\epsilon (\sqrt x)$ pour montrer que $g^{(n)}(0)$ existe , il suffit de montrer que $g_2^{(n)}(0)$ existe!.
On dérive $g_2$ et on obtient $$g_2'(x)=x^{n-1}(n\epsilon(\sqrt x)+\sqrt x \epsilon'(\sqrt x))=x^{n-1 }\epsilon_1 (\sqrt x)$$ avec $\epsilon_1(x)= n\epsilon (x)+x\epsilon'(x)\to 0$ car $\epsilon '$ bornée au voisinage de 0
Par recurrence, tu peux montrer que $$g_2^{(k)}(x)=x^{n-k}\epsilon_k(\sqrt x),\quad \forall k\leq n $$ donc $g_2^{(n)}(x)=\epsilon_n(\sqrt x)$ et finalement $g_2^{(n)}(0)$ existe et vaut 0 et $g^{(n)}(0)$ existe et vaut $n!\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}$Le 😄 Farceur -
Merci bien !
J’ai compris l’idée, et pour l’exercice 6 de abdelbaki.attioui, j’ai compris le prolongement par continuité, la dérivabilité, il me reste à voir le caractère infiniment dérivable (et oui, encore lui qui pose souci ...).
Bonne soirée ! -
J'attends de toi une rédaction complète de l'exercice 6 de a.attioui ;-)Le 😄 Farceur
-
J'en profite : le fait que le DL soit toujours pair dans sa partie principale permet-il de dire que la fonction est paire ? Je ne sais pas si c'est évident. -
Bonjour RLC.
C'est une excellente question.
Considère la fonction $f$ nulle sur $\mathbb R^-$ et définie sur $]0,+\infty[$ par $f(x)=e^{-\frac 1 x}$. Je te laisse montrer qu'elle est $C^{\infty}$, que toutes les parties principales de ses DL en 0 sont paires (*) et qu'elle n'est pas paire.
Cordialement.
(*) et aussi impaires !! -
Effectivement gerard0, je n'avais pas pensé à ce bon vieux contre-exemple. Merci beaucoup pour ta réponse ! -
Bonjour,
Autre réponse à RLC moins explicite : un DL est une propriété locale alors que la parité est une propriété globale. Donc en prenant une fonction nulle au voisinage de 0 et qui fait n'importe quoi à bonne distance de 0, on est sûr que son DL en 0 est pair et on peut se débrouiller pour que la fonction ne soit pas paire.
En revanche, ça ne marche plus pour les fonctions analytiques qui sont bien plus rigides et ne permettent pas ce genre de bricolage. -
Houlà ! j'ai cherché bien compliqué !!
-
Calli : oui, ton argument heuristique est convaincant. J'avais un peu le nez dans le guidon des fonctions usuelles sommes de leur série de Taylor. En fait c'est un peu un miracle que ce soit le cas puisque comme tu dis, a priori on n'est renseigné que localement, et allonger le DL n'est pas supposé donner une approximation "vraie même si on s'éloigne" mais "d'autant plus vraie qu'on est proche".
Je viens de me rendre compte que je n'avais jamais été coi devant ce miracle. Parce que naïvement, en sup, on est pas mal à se dire que "le DL à l'infini redonne la fonction" alors qu'il n'y a vraiment aucune raison si on ne regarde pas chaque fonction de plus près.
Mon prof de spé avait dit un jour : "Si des extraterrestres arrivent sur Terre et demandent aux humains ce qu'ils savent en sciences, vous n'aurez qu'à écrire le développement en série entière de exp(x). S'ils analysent votre égalité ils sauront beaucoup de choses".
Eh bien ça ajoute une chose à méditer encore.
C'était mon moment mathématico-mystique. Encore merci pour vos deux réponses. -
bonjour,
Une question me taraude à la lecture de ce fil concernant le caractère suffisant de la nullité des dérivées d'ordre paire pourquoi ne pas recourir explicitement aux propriétés des intégrales à paramètres et leur dérivabilité.
Voici comment je rédigerais ma réponse( qui reprend les grandes lignes de ce qui a déjà été écrit), est-elle valide ?
Si on utilise le développement de Taylor avec reste intégral de la fonction $g^{(n)}(x)$ pour $x >0$ en prenant x dans un intervalle compact de la forme [0;a] (la propriété de dérivabilité étant locale) le changement de variable "u = tx" évoqué par Gebrane(?) dans l'expression du reste intégral fournit une intégrale à paramètre que l'on sait être de classe $C^{n}$ compte-tenu de l'hypothèse de continuité des dérivées (partielles selon la variable x ) successives de $f$ sur le compact [0;a] x [0;1] partant du principe que la dérivée ne s'obtient par dérivation successive sous l' intégrale
Au plaisir de lire vos commentaires sur cette proposition de démonstration -
Ludo regarde la preuve que j'ai donné sur MO https://mathoverflow.net/questions/72497/if-f-is-smooth-and-even-then-there-exists-a-smooth-function-g-such-that-fxLe 😄 Farceur
-
@Gebrane:
Précisément,en lisant ta traduction du message de MO je souhaitais savoir si les affirmations de continuité et de dérivation de la fonction $\epsilon$ relèvent bien des propriétés homologues pour les fonctions définies par une intégrale à paramètre sur un intervalle d'intégration fermé ? -
Ce sont les théorèmes de continuité et de dérivation sous le signe intégrale.Le 😄 Farceur
-
C'est ce qu'il me semblait mais je souhaitais en être sûr
Merci:-) -
Bonsoir,
Je suis parvenu à démontrer le résultat annexe relatif à la fonction h fournie par Side dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2076912,2077616#msg-2077616 mais j'avoue ne pas avoir compris comment l'utiliser dans la récurrence suggérée.
Merci pour vos éclaircissements. -
supp
-
supp
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