Série improbable
Bonjour, soit $\ \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n x^n=\frac{1}{1+x}$ définie sur $]-1;1[ $ .
Le comportement en $1^-$ me tourmente. On a $\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2},$ par contre la série correspondante $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n 1^n$ n'a pas de limite... Comment lève-t-on ce genre d’ambiguïté ?
Prolonger par continuité la fonction en $1$ a-t-il un sens ? On peut remarquer que $\frac{1}{2}$ est la moyenne entre $0$ et $1$... mais bon. :-D
Merci.
Le comportement en $1^-$ me tourmente. On a $\lim_{x\rightarrow1^-}\frac{1}{1+x}=\frac{1}{2},$ par contre la série correspondante $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n 1^n$ n'a pas de limite... Comment lève-t-on ce genre d’ambiguïté ?
Prolonger par continuité la fonction en $1$ a-t-il un sens ? On peut remarquer que $\frac{1}{2}$ est la moyenne entre $0$ et $1$... mais bon. :-D
Merci.
Réponses
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Bonjour.
Il n'y a pas d’ambiguïté à lever, simplement de rappeler qu'un limite de somme (série de fonctions)) n'est pas la somme des limites de ses termes.
Une somme étant déjà une limite, on sait plus globalement qu'on ne peut pas inverser deux limites sans précautions.
Cordialement. -
Et on a souvent ces problèmes sur le bord du disque de convergence.
Parfois « ça marche », parfois non. -
Bah non, ta remarque montre qu'il n'y a pas convergence uniforme en $1$ (ça s'appelle une contraposée).
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J’allais poser la même question que Julien...
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Pardon, je voulais dire, la série ne converge pas uniformément sur $[0;1]$ désolé :-D
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Ta remarque disant que l'on ne peut pas intervertir limite et somme veut exactement dire, par contraposée d'un théorème usuel d'interversion de ces symboles, qu'il n'y a pas convergence uniforme sur tout voisinage de $1$.
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OK .
Et sinon avec les sommes de Cesaro généralisées ou un truc du genre...cette somme a-t-elle un sens quelconque ? -
Bonjour,
Je ne suis pas certain que cela réponde à ta question mais il y a, pour $\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\sum _{n=1}^{+\infty} u_nx^n$, le résultat intéressant suivant que l'on peut établir à l'aide de deux transformations d'Abel successives.
Soit $(u_n)_{n\in \N^*}$ une suite dans $\C,\:\:a\in \C\:$ tels que: $\quad S_n=\displaystyle \sum _{k=1}^n u_k,\quad \lim_{n\to + \infty} \dfrac 1n \sum_{k=1}^n S_k =a.\qquad$Alors: $ \quad \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1^-}\sum _{n=1}^{+\infty} u_nx^n =a.}$
Ici: $\quad u_n = (-1)^{n+1},\qquad S_n =\dfrac {1 +(-1)^{n+1} }2, \qquad \displaystyle \sum _{k=1}^n S_k = \Big\lfloor \dfrac {n+1}2 \Big\rfloor,\qquad \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \dfrac 1n \sum_{k=1}^n S_k =\dfrac 12.$ -
Bonjour,
Ce qui dit Lou16 est intéressant (:D (tautologie : ce que dit Lou16 est toujours intéressant ;-)) et je ne connaissais pas. Une petite remarque : au lieu de faire deux transformations d'Abel, on peut tomber sur la même égalité avec des produits de Cauchy (je trouve que c'est plus facile comme ça) :
$$ \frac1{(1-x)^2} \sum_{n=1}^\infty u_nx^n = \left( \sum_{n=0}^\infty x^n \right)^{\!2} \left( \sum_{n=1}^\infty u_nx^n \right) = \left( \sum_{n=0}^\infty x^n \right) \left( \sum_{n=1}^\infty S_nx^n\right) = \sum_{n=1}^\infty \left(\sum\limits_{k=1}^n S_k \right) x^n.$$ -
On retombe sur la même chose que si on avait fait des transformations d'Abel, i.e. $\sum\limits_{n=1}^\infty u_nx^n=(1-x)^2\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\sum\limits_{k=1}^n S_k\right)x^n$.
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supp
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Merci side.
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bonjour totem
ta fonction f qui s'exprime par la série $f(x) = \Sigma_0^{+oo}(-1)^n.x^n$ est définie pour x > - 1
pour - 1 < x < 1 elle est égale à la fonction rationnelle : $\frac{1}{1+x}$
et lorsque x tend vers 1 à gauche, le résultat de la série est bien égal à 1/2
Leibniz l'avait conjecturé au début du 18ième siècle
mais c'est Euler qui l'a démontré dans ses études des séries reprises plus tard par Riemann :
$g(p) = \Sigma_{n=1}^{+oo}\frac{(-1)^n}{n^p}$
pour p = 0 on obtient bien 1/2
c'est un résultat que l'on peut vérifier numériquement
en considérant la série avec p réel de plus en plus proche de 0 à droite
p = 1/10 a pour image par g : 0,5222702823...
p = 1/100 a pour image par g : 0,5022579...
p = 1/1000 a pour image par g : 0,5002258...
p = 1/10000 a pour image par g : 0,5000226....
p = 1/100000 a pour image : 0,5000023..
p = 1/1000000 a pour image : 0,5000002...
on pourra admettre la valeur de continuité 1/2 pour l'image par g de p=0
c'est une valeur obtenue aussi lorsque $x = \pi$ dans la série de Fourier :
$\frac{1}{2}=\Sigma_{n=0}^{+oo}cos(nx)$
cordialement -
@jeanlismonde: bonjour, merci pour cet aspect historique...oui c'est bien ce qui m'intrigue, plus on se rapproche de $p=0$ , plus la valeur tend vers $1/2$...mais ça reste une limite, pas sûr qu'on puisse prolonger par continuité comme me l'ont fait remarquer les autres membres !
Un peu comme avec la fonction $\frac{\ln(1+x)}{x} $ en $x=0$ ! -
Ah oui j'avais oublié...il connait pourtant tout un tas de trucs !! 8-)
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