Équivalent
Bonjour
Je suis tombé sur le problème suivant qui en première lecture me semblait facile mais crayon en main je n'arrive pas à trouver un argument qui me permettrait de m'en sortir, je passe s'en sans doute à côté de quelque chose qui saute aux yeux ...
Soit $(u_n)$ une suite strictement positive telle que $ u_n \ln u_n \underset{+\infty}\sim n\ $ alors $ \ u_n\underset{+\infty}\sim \frac{n}{\ln n}$
L'un d'entre vous aurait-il une piste ?
Merci d'avance.
Je suis tombé sur le problème suivant qui en première lecture me semblait facile mais crayon en main je n'arrive pas à trouver un argument qui me permettrait de m'en sortir, je passe s'en sans doute à côté de quelque chose qui saute aux yeux ...
Soit $(u_n)$ une suite strictement positive telle que $ u_n \ln u_n \underset{+\infty}\sim n\ $ alors $ \ u_n\underset{+\infty}\sim \frac{n}{\ln n}$
L'un d'entre vous aurait-il une piste ?
Merci d'avance.
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Réponses
Quelle est la limite de $(u_n)$ ? Puis que se passe-t-il si tu appliques le logarithme à $u_n \ln u_n \sim n$ ?
$ \ln u_n + \ \ln \ln u_n \sim \ln n $ donc $\ln u_n \sim \ln n$
En règle générale, si $a_n$ diverge vers $+\infty$ et $a_n\sim b_n$, avec $f$ définie au voisinage de $+\infty$, on n'a pas nécessairement $f(a_n)\sim f(b_n)$.
Par exemple si $f$ est la fonction exponentielle, $a_n=n^2$ et $b_n=n^2+n$, on a bien équivalence de $a_n$ et $b_n$ mais pas de leurs exponentielles.
Du coup, pour justifier ton premier équivalent qui est vrai, il faut bien exploiter le fait que $f=\ln$.
D'autre part, il faut déjà montrer que $u_n$ tend vers $+\infty$, ce qui n'est pas si évident que ça à bien rédiger (essaye un truc propre pour voir).
Merci pour ton petit rappel avec lequel j'étais au clair. Je suis simplement passé à côté du fait que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ qui permet de conclure. Je rouille avec l'âge et le manque de pratique:-D.
Dans ton exemple avec la fonction $\exp$, il faut et il suffit que $a_n-b_n=o(1)$.
De mon côté, je me suis prêté au jeu, et j'avoue que, si l'on est rigoureux, c'est assez long avec pas mal de petites subtilités. Mais peut-être qu'il y a des raccourcis que j'ai ratés.
Je mets ma rédaction en dessous. Ne la lis pas si jamais tu veux chercher quelque chose à toi qui serait plus court:
On a $f:x\mapsto x\ln x$ strictement croissante sur $[1;+\infty[$. Et $f$ négative sur $]0;1]$. Fixons $M>1$. Comme $u_{n}\ln u_{n}\underset{}{\longrightarrow}+\infty$, on a $f\left(u_{n}\right)\underset{}{\longrightarrow}+\infty$, et donc à partir d'un certain rang $N$, $f\left(u_{n}\right)>f\left(M\right)>0$. Donc $u_{n}>1$. Si on avait $u_{n}\leqslant M$ pour un certain $n\geqslant N$ on aurait, par croissance de $f$, $f\left(u_{n}\right)\leqslant f\left(M\right)$ : absurde. Donc pour $n\geqslant N$ on a $u_{n}>M$ et donc $u_{n}\underset{}{\longrightarrow}+\infty$.
Ensuite, $f\left(u_{n}\right)\underset{}{\sim}n$ et donc il existe $v_{n}$ de limite $1$ en $+\infty$ telle que $f\left(u_{n}\right)=nv_{n}$ qui entraîne pour $n>1$, $\ln f\left(u_{n}\right)=\ln n+\ln v_{n}=\underbrace{\left(1+\frac{\ln v_{n}}{\ln n}\right)}_{\underset{}{\longrightarrow}1}\ln n$ et donc $\ln f\left(u_{n}\right)\underset{}{\sim}\ln n$ ce qui donne $\ln\left(u_{n}\ln u_{n}\right)$$\underset{}{\sim}\ln n$. Mais $\ln\left(u_{n}\ln u_{n}\right)=\ln u_{n}+\ln\ln u_{n}=\underbrace{\left(1+\frac{\ln\ln u_{n}}{\ln u_{n}}\right)}_{\underset{}{\longrightarrow}1}\ln u_{n}\underset{}{\sim}\ln u_{n}$ et donc $\ln u_{n}\underset{}{\sim}\ln n$. Et comme $u_{n}\ln u_{n}\underset{}{\sim}n$ on obtient par quotient (pour $n>N$), $u_{n}\underset{}{\sim}\frac{n}{\ln n}$.
Soit $f:x\mapsto x\ln x$. Elle est strictement croissante sur $[1,+\infty[$ (calcul de dérivée) donc sa restriction à $[1,+\infty[$ possède une réciproque $f^{-1}:[0,+\infty{[}\to[1,+\infty[$. La fontion $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$, donc $f^{-1}$ fait de même et $u_n\to \infty$.
Ensuite, $n\sim u_n\ln(u_n)$ donne $\ln n=\ln(u_n) + \ln\circ\ln(u_n) +o(1)=\ln(u_n)+o(\ln(u_n))\sim \ln(u_n)$. Donc $u_n \sim\frac{n}{\ln(u_n)}\sim \frac{n}{\ln n}$.
@Troisqua: je viens de griffonner une preuve du même goût que la tienne pour justifier que $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
Tu écris $n\sim u_{n}\ln u_{n}$ donne $n=\ln u_{n}+\ln\ln u_{n}+o\left(1\right)=\dots$ . Tu voulais dire $\ln n=\ln u_{n}+\ln\ln u_{n}+o\left(1\right)$ j'imagine, mais comment tu justifies le $o\left(1\right)$ à partir de l'équivalent initial ? Il y a un petit quelque chose à écrire en plus.
troisqua : Non j'applique $f^{-1}$ à $u_n\ln(u_n)$, c'est-à-dire à $f(u_n)$ :-D. Bon dit comme ça, ç'a l'air bête mais le raisonnement est le suivant. $n$ tend vers l'infini et $f(u_n)\sim n$, donc $f(u_n)\to \infty$. Donc à partir d'un certain rang $u_n\geqslant 0$ et on peut lui appliquer $f^{-1}$. Et comme $f$ est bornée sur $[0,1]$, on a à partir d'un certain rang $f^{-1}(f(u_n)) = u_n$ (je rappelle que $f^{-1}$ n'est la réciproque que de la restriction de $f$ à $[1,+\infty[$).
Oui en toute rigueur c'est un argument supplémentaire, que n'avais pas pris la peine de détailler.
La transformation des équivalents en $o(1)$ par passage au logarithme, c'est un truc "connu" de mon point de vue et je ne le redémontre plus à chaque fois. La justification est : si $v_n\sim w_n$, alors $\ln(v_n)=\ln(w_n (1+o(1)) =\ln(w_n)+\ln(1+o(1))=\ln(w_n)+o(1)$.
Ce que je voulais dire c'est que si on ne passe pas à la trappe l'ensemble des détails (?) c'est finalement assez long même si ce n'est pas difficile et qu'on fait la même chose au fond.
Voici une preuve (élémentaire mais laborieuse) de la divergence de $\left(u_n\right)_{n\in\N}$ vers $+\infty$, rédigée ici de manière détaillée:
Soit $A\in\R$.
Comme $u_n\ln\left(u_n\right)\underset{n\to +\infty}{\sim}n$, on dispose de $n_0\in\N$ et de $\left(\varphi_n\right)_{n\geqslant n_0}$ de limite $1$ tels que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\ln\left(u_n\right)=n\varphi_n$.
Or, par produit, $\lim\limits_{n\to +\infty}n\varphi_n=+\infty$.
Donc, on dispose de $n_1\geqslant n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_1$, $n\varphi_n\geqslant A^2$.
Ainsi, pour tout $n\geqslant n_1$, $u_n\ln\left(u_n\right)\geqslant A^2$.
De plus, la concavité de $\ln$ sur $\R_+^*$ donne, pour tout $x\in\R_+^*$, $x\geqslant x-1\geqslant \ln(x)$.
Or, pour tout $n\in\N,~u_n\in\R_+^*$.
Donc, pour tout $n\in\N$, $u_n\geqslant \ln(u_n)$, puis, pour tout $n\in\N$, $u_n^2\geqslant u_n\ln\left(u_n\right)$.
Ainsi, pour tout $n\geqslant n_1$, $u_n^2\geqslant A^2$.
Donc, par positivité de $\left(u_n\right)_{n\in\N}$, stricte croissance de la fonction carrée sur $\R_+$ et propriété de la valeur absolue: $\forall n\geqslant n_1,~u_n\geqslant \vert A\vert\geqslant A$
Ainsi, a été établi: $$\forall A\in\R,~\exists n_1\in\N,~\forall n\geqslant n_1,~u_n\geqslant A$$
Donc, $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
Bonne soirée à tous,
Je pense qu'il ne mentionne pas l'argument principal qui est la stricte croissance de $f$ à partir de $1$ sinon ça rallonge sa preuve :-D
[mode boutade : off]
Edit : J'ai quand même parlé de croissance troisqua. :-D
Bonne soirée à tous,
Ok, je sors.
Bon d'accord, il est possible que j'ai un tête un Certain Coforumeur. Néanmoins, je tiens à préserver son anonymat, c'est pourquoi je le désignerai par les lettres CC. :-D:-D:-D
Mais CC n'est pas l'unique personne à laquelle je pensais.