Fourier, convergence normale

Mister Da · August 2020

Bonjour,

le théorème de convergence normale dit que la série de Fourier d'une fonction $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ continue et $C^1$ par morceaux converge normalement (donc uniformément).

En regardant sur internet (je n'ai pas de livres avec moi), je trouve des preuves partielles,

certaines supposent en plus $f$ de carré intégrale ce qui permet d'utiliser l'inégalité de Bessel et
d'autres supposent $f$ de classe $C^2$ ce qui permet de faire des intégrations par parties pour montrer que les coefficients de la série de Fourier décroissent suffisamment vite.

Auriez-vous la référence d'une preuve (pas trop violente si possible) du théorème sans hypothèse supplémentaire à m'indiquer ?

Je vous remercie par avance de vos lumières.

Cordialement,
Mister Da

jean lismonde · August 2020

bonjour mister

en mathématiques une preuve doit être complète, claire, accessible et apaisante,

si elle est violente ne serait-ce qu'un chouia, elle ne pourra être satisfaisante

cordialement

Poirot · August 2020

Une fonction continue est de carré intégrable sur tout segment.

JLT · August 2020

Dans le cas où $f$ est $C^1$, la preuve est élémentaire : on a $c_n(f)=\dfrac{1}{in}c_n(f')$ pour tout $n\in\Z^*$. Comme $(1/n)_{n\in\Z^*}$ et $(c_n(f'))_{n\in\Z^*}$ sont de carré intégrable, d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz la série $\sum_n |c_n(f)|$ converge, donc $\sum_n c_n(f)e^{inx}$ converge normalement.

Mister Da · August 2020

Bonjour,

merci beaucoup pour vos réponses.

@Poirot : Arrrgggg ! Suis-je si faible que ça ? Je m'étais bien dit que "une fonction continue est de carré intégrable sur tout segment". Mais en lisant le début de l'exercice que j'ai trouvé (voir la photo) j'ai pris ça pour une hypothèse supplémentaire (et je me suis auto laissé convaincre qu'il devait exister des fonctions pathologiques de carré non intégrale).

Pour résumer, étant sur un segment avec une fonction continue, nous sommes de carré intégrale et nous pouvons dégainer l'inégalité de Bessel (sans avoir à ajouter d'hypothèse).

Désolé pour le dérangement et encore merci.

Mister Da

@jean lismonde oui je suis bien d'accord. Par "violent" j'entends "calculatoire" (bien que certaines preuves calculatoires et laborieuses sont plus instructives que des alternatives plus élégantes mais reposantes souvent sur une astuce qui peut parfois masquer des choses, tout dépend de si on s'intéresse au chemin ou à la destination). Mais finalement ici, le problème était moi et non la preuve ! 108436

troisqua · August 2020

JLT: il me semble que $f$ continue $2\pi$ périodique et $f$ $C^1$ par morceaux suffisent à montrer que $c_n(f')=i n c_n (f)$. En effet, notons $\left(a_{k}\right)_{k\in n+1}$ une subdivision de $\left[-\pi;\pi\right]$ adaptée à $f$ (en particulier $f$ est $C^{1}$ sur chaque $]a_{k};a_{k+1}[$ pour $k\in n$ et $a_{0}=-\pi;a_{n}=\pi$ et $f'$ prolongeable par continuité sur sur chaque $\left[a_{k};a_{k+1}\right]$ $\left(*\right)$). Alors
\begin{align*}
2\pi c_{n}\left(f'\right) & =\int_{-\pi}^{\pi}f'(t)e^{-nit}dt\\
& =\sum_{k\in n}\int_{a_{k}}^{a_{k+1}}f'(t)e^{-nit}dt\\
& \underbrace{=}_{\left(*\right)}\sum_{k\in n}\left[f\left(t\right)e^{-nit}\right]_{a_{k}^{+}}^{a_{k+1}^{-}}+ni\int_{a_{k}}^{a_{k+1}}f(t)e^{-nit}dt\\
& \underbrace{=}_{f\text{ continue}}\sum_{k\in n}\left[f\left(t\right)e^{-nit}\right]_{a_{k}}^{a_{k+1}}+2\pi nic_{n}\left(f\right)\\
& =\underbrace{\left[f\left(t\right)e^{-nit}\right]_{a_{0}}^{a_{n}}}_{0}+2\pi nic_{n}\left(f\right)
\end{align*}

Mister Da · August 2020

Bonjour,
je viens seulement de voir le message de JLT et celui de troisqua.
Déjà je me suis planté car il faut faire du Bessel avec $f'$ et non $f$.

Effectivement dans le cas continue et $C^1$ par morceaux, on peut encore faire une intégration par parties, la seule continuité de $f$ suffit pour recoller les morceaux. Du coup on a bien $c_n(f)=\dfrac{1}{in}c_n(f')$ pour tout $n\in\Z^*$.

En continuant la démonstration de JLT, on sort Cauchy-Schwarz, $(1/n)_{n\in\Z^*}$ est de carré intégrable. Pour montrer que $(c_n(f'))_{n\in\Z^*}$ l'est aussi je constate que $f'$ est continue par morceaux, du coup $(f')^2$ également et donc intégrable sur un segment. De là on conclut que $\sum_n |c_n(f)|$ converge, donc $\sum_n c_n(f)e^{inx}$ converge normalement.

Finalement la démonstration dans le cas continue et $C^1$ par morceaux et la même que celle de JLT (dans le cas d'une fonction $C^1$), il faut juste percuter que l'on a encore droit de faire une intégration par parties et qu'on a encore le droit d'utiliser l'inégalité de Bessel (car finalement $f'$ étant une fonction continue par morceaux elle est de carré intégrable sur un segment).

Est-ce correct ?
Cordialement,
Mister Da

troisqua · August 2020

Oui, tout à fait. Le truc c'est qu'il faut bien faire gaffe avec ces histoires de régularité par morceaux.

side · August 2020

supp

troisqua · August 2020

@side, dans l'énoncé de Mister Da, il y avait juste la convergence normale de demandée (pas forcément de déterminer la limite).

Poirot · August 2020

Le fait que la série converge vers $f$ est facile quand on dispose de la convergence normale : on peut intervertir somme et intégrale pour vérifier que la fonction somme a les mêmes coefficients de Fourier que $f$, et finalement qu'elle est égale à $f$ par unicité.

side · August 2020

supp

troisqua · August 2020

@Poirot: oui ou bien dire que par Dirichlet, la série de Fourier converge simplement vers $f$ et comme elle converge normalement, elle converge uniformément, donc simplement vers une certaine limite $g$. D'où $f=g$.

Mister Da · August 2020

Bonjour,

merci beaucoup pour toute l'aide !

@troisqua "Oui, tout à fait. Le truc c'est qu'il faut bien faire gaffe avec ces histoires de régularité par morceaux." Pourrais-tu me confirmer que finalement à bien y réfléchir le nerf de l'histoire c'est de s'assurer qu'on a bien des limites à droite et à gauche, c'est à dire qu'il existe sur un intervalle donné $[a,b]$ une fonction $g$ continue qui coïncide avec $f$ sur $]a,b[$ pour conclure sur l'intégrabilité de la fonction ?

@side "Il manque en effet l'essentiel". Certes ! En fait je revenais du théorème de Dirichlet, donc c'était assez clair dans mon esprit que ça converge vers la régularisée qui est la fonction la fonction en personne étant donnée sa continuité. C'était vraiment le côté normale de la convergence qui m'intéressait. Effectivement, si je sors le théorème de son contexte je dois le préciser, merci pour ta remarque.

@Poirot : Ah oui ! Je savais conclure en passant par Dirichlet, j'ai jamais réalisé que l'argument de l'unicité pouvait être utilisé ! En fait deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier sont égales presque partout et deux fonctions continues égales presque partout sont égales partout.

Merci énormément, j'ai compris plus de choses en une demi-journée de forum qu'en 3 jours de moteur de recherche !

Cordialement,
Mister Da

troisqua · August 2020

Mister Da, je n'ai pas bien cerné ta question. Le problème n'est pas vraiment un problème d'intégrabilité (la fonction est continue). C'est plutôt le fait que le crochet final (dans l'intégration par parties) donne bien $0$ (qui nécessite que les limites à gauche et à droite de chaque $a_k$ soient bien identiques (pour obtenir le télescopage) ce qui est justement donné par la continuité de $f$).

Mister Da · August 2020

Je me suis mal exprimé désolé, l'intégration par parties est claire dans ma tête, je parlais ici de la justification de l'utilisation de l'inégalité de Bessel avec la fonction $f'$. Plus précisément, pour justifier que $f'$ est de carré intégrable il suffit de noter que $f'$ est continue par morceaux, non ?
Cordialement,
Mister Da

troisqua · August 2020

Oui.

Mister Da · August 2020

Super. Merci énormément !

troisqua · August 2020

@Poirot: dans ta solution tu dis que tes deux fonctions sont égales parce qu'elles ont mêmes coefficients de Fourier, mais il faut préciser que c'est parce que les deux fonctions qu'on compare sont continues ce qui immédiat pour l'une et très simple pour l'autre, mais bon, ça doit être précisé quand même.

Mister Da · August 2020

Bonjour,

Troisqua c'est ce que j’essayais de dire dans mon message à Poirot un peu plus haut : "En fait deux fonctions qui ont les mêmes coefficients de Fourier sont égales presque partout et deux fonctions continues égales presque partout sont égales partout."

Cordialement,
Mister Da