Fonction continue de $\R$ dans $\Q_p$
Bonjour,
Est-ce qu'il y a des fonctions de $\R$ dans $\Q_p$ qui sont continues (autres que les fonctions constantes) ? Je dirais que non, car $\R$ est connexe, donc son image par une fonction continue est connexe, et $\Q_p$ me semble être totalement discontinu (comme $\Z_p$), donc tout connexe est un point.
Merci d'avance.
Est-ce qu'il y a des fonctions de $\R$ dans $\Q_p$ qui sont continues (autres que les fonctions constantes) ? Je dirais que non, car $\R$ est connexe, donc son image par une fonction continue est connexe, et $\Q_p$ me semble être totalement discontinu (comme $\Z_p$), donc tout connexe est un point.
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Réponses
Dans un espace ultramétrique toute boule ouverte est fermée.
De ce fait, comme tu l'as signalé, il ne peut pas exister de fonctions de $\R$ dans $\Q_p$ qui soit continue.
e.v.
Il me semble qu'il existe, par contre, des fonctions continues de $\Q_p$ dans $\R$ non constantes. Par exemple, la fonction qui à $x=\sum_{k=n}^{\infty} a_k p^k \in \Q_p$ associe $\sum_{k=n}^{\infty} a_k p^{-k} \in \R$ (avec $a_k \in \{0,\dots, p-1\}$ et $n \in \Z$) ?
Est-ce qu'il existe des fonctions de l'ensemble des rationnels $\Q$ muni de la distance ultramétrique $|x-y|_p$ dans $\R$ qui sont dérivables (autres que les constantes et les fonctions affines)? Une fonction $f$ étant dérivable en $x \in \Q$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \in \R$ a une limite (réelle) lorsque $|h|_p$ tend vers $0$.
Bref, dans ce contexte, la dérivation a un intérêt assez limité.
Espace de Cantor
Edit : par ailleurs wikipédia donne un exemple explicite de fonction de dérivée nulle partout et non constante.
Il y a aussi la question de l'existence d'une fonction de $\Q$ ultramétrique dans $\R$ dérivable et non affine.
Il me semble que la norme $p$-adique est dérivable. Soit $x\in\Bbb Q$. Pour $|h|_p$ suffisamment petit, on a $|x+h|_p\leqslant \max(|x|_p,|h|_p)=|x|_p$ et $|x|_p = |x+h-h|_p\leqslant \max(|x+h|_p,|h|_p)=|x+h|_p$ donc $|x+h|_p = |x|_p$. Ainsi, $\frac{|x+h|_p-|x|_p}h\underset{|h|_p\to0}\longrightarrow 0$.
Edit : Ça ne marche que pour $x\neq 0$.
Soient $\chi$ l'indicatrice de $[1,+\infty[$ et $f:x\in\Bbb Q\mapsto \chi(|x|_p)$. Alors $f$ m'a l'air d'être dérivable et continue. J'écrirai les détails plus tard.
Donc si on choisit par exemple $q_n=\frac{1}{(p+1)^{4n}}$, on a $T_0(x_n)$ qui tend vers l'infini lorsque $n$ tend vers l'infini, et $|x_n|_p$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers l'infini. Donc le taux d'accroissement $T_0(x)$ en $0$ n'admet pas de limite lorsque $|x|_p$ tend vers $0$.
(mauvaise impression retirée ...)
Soit $x\in\Bbb Q^*$. Alors le raisonnement du message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2082062,2082772#msg-2082772 montre que $|.|_p$ est localement constante en $x$ ("localement" pour $|.|_p$) donc $f$ aussi. Donc $f$ est dérivable en $x$ de dérivée nulle.
Et, grâce à la composition par $\chi$, $f$ est aussi localement constante en $0$. Donc $f$ est dérivable en 0 de dérivée nulle, et elle l'est finalement partout.
Et $f$ est aussi continue, puisque localement constante.
edit parenthèse manquante
et comment démontres-tu à ta façon que la fonction que j'ai donnée est bien dérivable sur $\Q_p$
Mais toi tu parles de dériver une fonction $\Bbb Q_p\to \Bbb Q_p$. En toute logique la définition de la dérivabilité dans ce contexte devrait être :
Cette définition est cohérente avec celle que j'ai trouvée dans https://webusers.imj-prg.fr/~pierre.colmez/fonctionsdunevariable.pdf, page 18.
Pour ta fonction $f:\Bbb Q_p\to \Bbb Q_p, x\mapsto |x|_p^{-2}$, on peut dire qu'elle est localement constante en tout point non nul de $\Bbb Q_p$ (j'ai déjà donné l'argument) donc dérivable de dérivée nulle en ces points. Et en 0 le taux d'accroissement vaut $\frac{p^{\scriptstyle 2v_p(h)}}h$ dont la norme $p$-adique est $\frac{|p^{\scriptstyle 2v_p(h)}|_p}{|h|_p} = \frac{p^{\scriptstyle -2v_p(h)}}{|h|_p} = |h|_p \underset {|h|_p\to0}\longrightarrow 0$. Donc $f'(0)=0$.
la fonction $x\to \frac 1{|x|_p}$ est continue dérivable ( même argument) mais de dérivée en 0 égale à 1
Soit $f$ ta fonction. $f(0)$ n'est pas bien défini, mais ça n'est pas grave (enfin quand même, bien définir ses fonctions ce serait la moindre des choses). Soit $h_n := \frac{p^n}{(p+1)^n}$. On a $|h_n|_p \underset{n\to\infty}\longrightarrow 0$ et $$\frac{f(0+h)-f(0)}h = \frac{p^n-f(0)}{p^n/(p+1)^n} = (p+1)^n \left(1- \frac{f(0)}{p^n}\right)\underset{n\to\infty}\longrightarrow +\infty.$$ Donc $f$ n'est pas dérivable en $0$.