Fonction $x \mapsto e^x$

@gerard0 il faut que $\lim_{x \mapsto \bf{- \infty}} f(x)e^{-x}=1$

Si $g(x)=f(x)e^{-x}$ alors (Leibnitz) $0\leq \sum_{k=0}^{n+1}C^k_{n+1}g^{(k)}\leq \sum_{k=0}^{n}C^k_{n}g^{(k)}$ et donc (Pascal) $ \sum_{k=0}^{n}C^k_{n}g^{(k+1)}\leq 0$ et donc (Leibnitz) $(e^xg'(x) )^{(n)}\leq 0.$ C'est dire que $x\mapsto -e^xg'(x)$ est absolument monotone et donc (Bernstein) qu'il existe une mesure positive sur $[0,\infty)$ telle que pour tout $x$ on ait $-e^xg'(x)=\int_0^{\infty}e^{xy}\mu(dy).$ D'ou$$g(x)=g(-\infty)-\int_{-\infty}^x\left(e^{-z}\int_0^{\infty}e^{zy}\mu(dy)\right)dz=1-\int_0^{\infty}\left(\int_{-\infty}^x e^{z(y-1)}dz \right)\mu(dy)$$ ce qui montre que $\mu([0,1])=0.$ On a enfin $$g(x)=1-\int_1^{\infty}e^{x(y-1)}\frac{\mu(dy)}{y-1}$$ ce qui est impossible puisque $g\geq 0$, a moins que $\mu$ ne soit la mesure nulle. Donc $g=1.$