Transformée de Fourier d'un peigne
Bonsoir, $\def\F{\mathscr{F}}$ $\def\S{\mathcal{S}}$ $\def\R{\Bbb R}$
Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$. Dans mon cours d'analyse fonctionnelle, la démonstration de $\F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ est assez compliquée, donc j'ai essayé de voir s'il n'était pas possible de simplement partir de $\F \delta_0 = 1$. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est bien correct ? Comme ça, je pourrai le considérer comme une seconde démo de cours (quand on croit trouver une preuve plus naturelle que celle du cours, on doute forcément).
Merci d'avance.
On a $(\forall \varphi \in\S(\R), \sum_{k=-n}^n \varphi(k) \underset{n\to\infty}\longrightarrow \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k))$ par convergence dominée, donc $\sum_{k=-n}^n \delta_k \to T$ dans $\S'(\R)$. Puisque $\F : \S'(\R) \to \S'(\R)$ est continue, on a pour la topologie de $\S'(\R)$ : $$\F T=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n \F \delta_k
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto e^{-in} \frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right) $$
Admettons qu'on connait l'intégrale : $$\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x = 2\pi$$
Soit $\varphi\in\S(\R)$. Alors $$\begin{eqnarray*}
\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x
&=& \sum_{k\in\Bbb Z} \int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} \varphi(2k\pi) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x + \int_\R \left(\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x) \right) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \\
&=& 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi) + \int_\R \underbrace{ \frac{\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x)}{\sin(\frac{x}2)} }_{:= \,f(x)} \sin((n+\frac12)x) \,{\rm d}x
\end{eqnarray*}$$
Or : $\forall k\in\Bbb Z, \forall x \in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[,$ $$|f(x)| = \left|\frac{\varphi(x)-\varphi(2k\pi)}{\sin(\frac{x}2)}\right| \leqslant \left|\frac {x-2k\pi}{\sin(\frac{x}2)}\right| \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| \leqslant \pi \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| $$
donc $f\in L^1$.
Ainsi le lemme de Riemann-Lebesgue donne $$\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \underset{n\to\infty}\longrightarrow 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi)$$
Et on conclut : $$\F T = \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right)
=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$$
Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$. Dans mon cours d'analyse fonctionnelle, la démonstration de $\F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ est assez compliquée, donc j'ai essayé de voir s'il n'était pas possible de simplement partir de $\F \delta_0 = 1$. Pouvez-vous me dire si ce qui suit est bien correct ? Comme ça, je pourrai le considérer comme une seconde démo de cours (quand on croit trouver une preuve plus naturelle que celle du cours, on doute forcément).
Merci d'avance.
On a $(\forall \varphi \in\S(\R), \sum_{k=-n}^n \varphi(k) \underset{n\to\infty}\longrightarrow \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k))$ par convergence dominée, donc $\sum_{k=-n}^n \delta_k \to T$ dans $\S'(\R)$. Puisque $\F : \S'(\R) \to \S'(\R)$ est continue, on a pour la topologie de $\S'(\R)$ : $$\F T=\lim_{n\to\infty} \sum_{k=-n}^n \F \delta_k
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto e^{-in} \frac{e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1}\right)
= \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right) $$
Admettons qu'on connait l'intégrale : $$\int\limits_{-\pi}^\pi \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x = 2\pi$$
Soit $\varphi\in\S(\R)$. Alors $$\begin{eqnarray*}
\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x
&=& \sum_{k\in\Bbb Z} \int\limits_{(2k-1)\pi}^{(2k+1)\pi} \varphi(2k\pi) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x + \int_\R \left(\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x) \right) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \\
&=& 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi) + \int_\R \underbrace{ \frac{\varphi(x) - \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(k) {\bf 1}_{[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[}(x)}{\sin(\frac{x}2)} }_{:= \,f(x)} \sin((n+\frac12)x) \,{\rm d}x
\end{eqnarray*}$$
Or : $\forall k\in\Bbb Z, \forall x \in [(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[,$ $$|f(x)| = \left|\frac{\varphi(x)-\varphi(2k\pi)}{\sin(\frac{x}2)}\right| \leqslant \left|\frac {x-2k\pi}{\sin(\frac{x}2)}\right| \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| \leqslant \pi \sup_{y\in[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi[} |\varphi'(y)| $$
donc $f\in L^1$.
Ainsi le lemme de Riemann-Lebesgue donne $$\int_\R \varphi(x) \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \,{\rm d}x \underset{n\to\infty}\longrightarrow 2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \varphi(2k\pi)$$
Et on conclut : $$\F T = \lim_{n\to\infty} \left( x\mapsto \frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}2)} \right)
=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$$
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Réponses
À titre personnel, j'ai appris ce résultat comme une conséquence de la formule sommatoire de Poisson
Après c'est un jeu d'enfant. Soit $T=\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k$ par définition
$<\hat T,\phi>\,=\,<T,\hat \phi>\, =\,<\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_k,\phi>\,=\sum_{k\in\Bbb Z}\hat \phi(k).$
Par la formule sommatoire de Poisson $\sum_{k\in\Bbb Z}\hat \phi(k)=
2\pi \sum_{k\in\Bbb Z} \phi(2\pi k)=2\pi <\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2\pi k},\phi>$ donc
$\hat T =2 \pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}.$
C'est la formule $\mathscr F T=2\pi\sum_{k\in\Bbb Z} \delta_{2k\pi}$ qui est appelée "formule sommatoire de Poisson" dans mon cours. Mais c'est équivalent à $\forall f\in{\cal S}(\Bbb R), \sum_{n\in{\mathbb Z}}\widehat{f}(n)={ 2\pi}\sum_{n\in{\mathbb Z}} f({2\pi}n)$.
On sait que $T$ est $1$-périodique, donc on a $\mathcal F(T) = \mathcal F (T \circ \tau_1 ) = e_{2\pi}\mathcal F(T)$, de là on en déduit que $\mathcal F(T)$ est à support dans $\Z$. De la même façon on a $e_{2\pi } T = T $ donc $\mathcal F(T) =\mathcal F( e_{2\pi } T) = \mathcal F(T) \circ \tau_1$ et on en déduit que $\mathcal F(T)$ est $1$-périodique.
On peut alors reprendre les calculs de Calli mais avec $\varphi\in \mathcal S(\R)$ à support dans $[-1/2; 1/2]$, ce qui simplifie les majorations et nous donne la restriction de $\mathcal F(T)$ à $\{0\}$.
Peut-être qu'on peut éviter encore un peu plus longtemps d'utiliser le noyau de Dirichlet. Par exemple si l'on arrive à montrer que $\mathcal F (T)$ est positive on doit normalement pouvoir en déduire que $\mathcal F(T) = \lambda \sum_n \delta_n$ avec $\lambda $ un réel positif à préciser. Par contre pour la détermination de $\lambda$ je suppose qu'on a pas trop le choix et qu'il faut d'une façon ou d'une autre faire des calculs. C'était quoi la démonstration de ton cours Calli ?
Elle est bien aussi, mais elle est un peu en mode devinette ($\mathscr F T$ est à support dans $\Bbb Z$, puis une somme de pics de Dirac, et puis périodique... et à la fin il reste un calcul pour trouver la constante), donc je trouve plus naturel de trouver $\mathscr F T$ par un calcul direct, en sommant la relation connue $\mathscr F\delta_0=1$.
Bon après chacun ses goûts en matière de démonstration, je trouve qu'utiliser la périodicité de $T$ pour en déduire le support de $\mathcal F(T)$ et sa périodicité est assez naturel.
https://agreg-maths.fr/uploads/versions/870/Formule_sommatoire_Poisson.pdf
https://agreg-maths.fr/developpements/98