Problème de densité dans $W^{1,2}(Y)$

@O.G
mon problème est que $W^{1,2}_{per}(Y)=\{u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)\mid u$ est $Y$-périodique$\} $.
Je ne connais même pas qui est $W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$ bref je pense que $u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$ ssi pour tout ouvert $U\subset \mathbb R^N$, $\mathbb1_{U}u \in W^{1,2}(\mathbb R^N)$ et $u$ est $Y$-périodique.
Sauf si la définition de $W^{1,2}_{per}(Y)$ donnée ici coïncide avec celle du livre de Cioranescu et Donato ??

J'avais mal cerné la définition.

Merci @Tryss je viens de vérifier et la dérivée de votre fonction est
$(u^{\sharp})'=(u')^{\sharp}+\sum_{k \in \mathbb Z} (u(0)\delta_{-k} -u(1)\delta_{1-k})$ donc il est clair que $u' \notin L^2_{loc}(\mathbb R)$.
J'ai utilisé la partition de $\mathbb R$, $(Y_k)$ définie par: $Y_k=Y+k$ $\forall k \in \mathbb Z$ pour calculer cette dérivée j'espère que c'est bon.
Mais je constate donc que si :
$u(0)=u(1)$ alors on aura: $(u^{\sharp})'=(u')^{\sharp}$ ce qui nous donnera bien $(u^{\sharp})' \in L^2_{loc}(\mathbb R)$.
PS: Je pense qu'en généralisant ceci je vais obtenir le résultat.

Bonjour à tous
Tout d'abord merci pour vos différentes indications.
Je vais montrer la densité de $C^{\infty}_{per}(Y)$ dans $W^{1,2}_{per}(Y)$ pour la norme de $W^{1,2}(\mathbb R^N)$
Soit $u \in W^{1,2}_{per}(Y)$ alors $u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$, $u$ est $Y-$périodique. On a:$\mathbb R^N=\cup_{j}B_j$, $B_j=B(0,J)$, $\forall j$
Puisque $B_j$ est un ouvert de $\mathbb R^N$ et que $u \in W^{1,2}_{loc}(\mathbb R^N)$ alors $1_{B_j}u \in W^{1,2}(\mathbb R^N)$ et puisque $C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$ est dense dans $W^{1,2}(\mathbb R^N)$ il existe $(u^j_n) \subset C^{\infty}_0(\mathbb R^N)$ telle que $u^j_n \to 1_{B_j}u$ dans $ W^{1,2}(\mathbb R^N)$. Par ailleurs,pour n fixé, puisque $\forall j$ $u^j_n \in $ $ D'(B_j)$ alors par le principe de recollement, il existe un unique $u_n \in D'(\mathbb R^N)$ tel que ${u_n}_{\lvert B_j}=u^j_n$.Donc on a:
-$(u_n) \subset C^{\infty}(\mathbb R^N)$
-$1_{B_j}u_n \to 1_{B_j}u$ dans $W^{1,2}(\mathbb R^N)$.
je pense maintenant à poser $v_n={u_n}_{\lvert Y}$ et $v_n^{\sharp}$ l'extension de $v_n$ par $Y-$périodicité sur $\mathbb R^N$ de sorte que la trace de $v_n^{\sharp}$ sur les bords opposés de $Y$ à la même valeur. On a donc $(v_n^{\sharp}) \subset C^{\infty}_{per}(Y)$ reste donc à montrer que $v_n^{\sharp} \to u$ pour la norme de $W^{1,2}(\mathbb R^N)$. Ce qui est facile car:
$ \lVert v_n^{\sharp}-u \rVert_{W^{1,2}(\mathbb R^N)}^2 \le \sum_{k \in \mathbb Z^N} \lVert 1_{{B_j}_0}(u_n-u) \rVert_{W^{1,2}(\mathbb R^N)}^2 \to 0 $
$\grave{ou}$ $B_{j_0}$ est une boule qui contient $Y$.

(:P)