Preuve non constructive

gebrane
gebrane
dans Analyse
Bonsoir, est-ce qu'il y a une preuve non constructive de
Il existe des nombres irrationnels $x$ et $y$, tels que $x^y$ est rationnel
Edit. On m'a dit que oui et je ne sais pas quel type de raisonnement, on doit utiliser.
Le 😄 Farceur


Réponses

  • Tryss
    Tryss
    Que penses tu de $e^{\ln(2)} = 2$ ?

    Bon, ça demande quelques prérequis, mais c'est une preuve constructive
  • Chalk
    Chalk
    Oui puisque $e^\pi$ et $e^{-\pi/2}$ le sont, mais j'ai sûrement mal compris la question.

    Edit : j'ai lu de travers, mais l'idée reste la même.
  • gebrane
    gebrane
    Je suis étourdi comme d'habitude la nuit, je corrige la question
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    Si $a={\sqrt 2}^{\sqrt 2}$ est rationnel, terminé. Sinon, on observe que $a^{\sqrt 2}=2$ est rationnel.
  • Chaurien
    Chaurien
    Et en fait $a={\sqrt 2}^{\sqrt 2}$ est transcendant d'après le théorème de Gelfond-Schneider (1934). Mais il n'est pas nécessaire de le savoir pour répondre à la question posée.
  • gebrane
    gebrane
    Ah oui, la réponse était sous mon nez merci Chaurien
    Le 😄 Farceur


  • Chaurien
    Chaurien
    C'était le PB 26 dans Le Petit Archimède 15-16, juin 1975, p. 42 http://www.lepetitarchimede.fr/pa/PA15-16.pdf
    Solution dans Le Petit Archimède 19, septembre 1975, p. 22. http://www.lepetitarchimede.fr/pa/PA19.pdf
    Mais j'ignore qui a trouvé cet exemple, Halmos ?
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • gebrane
    gebrane
    Lorsque, on a compris l'idée, on peut donner d' autres exemples. par exemple celui de Tryss. Si $a=e^{\frac 1{\pi}}$ est rationnel, terminé. Sinon, on observe que $a^{\pi\ln2}=2$ est rationnel
    Le 😄 Farceur


  • Tryss
    Tryss
    Un autre type de preuve non constructive :

    On note $\mathbb{I}$ l'ensemble des irrationnels

    Considérons la fonction $f_x:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ définie par $f_x(y) = x^y$.

    Soit $x>1$ irrationnel. $f_x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$, donc bijective, donc le cardinal de $f_x(\mathbb{I}^+) $ est égal à celui de $\mathbb{I}^+$, donc strictement plus grand que celui de $\mathbb{Q}$

    Ainsi, il existe $y \in \mathbb{I}^+$ tel que $f_x(y) = x^y \not\in \mathbb{Q}$
  • ev
    ev
    Bonjour Gebrane.

    Je ne sais pas ce qu'est une preuve non constructive.

    1/ il existe \( x \in \R_+^*, \; x^x = 2 \).

    2/ Ce réel \( x \) est irrationnel.

    Est-ce que ça répond à ta question ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Moi aussi j'ai du mal à savoir ce qu'est une preuve constructive. Dans l'exemple d'ev, on a une formule pour le nombre trouvé : $x=\sup\{y>0\mid y^y<2\}$. Et on est théoriquement capable de calculer autant de décimales de $x$ qu'on veut. Est-ce que ça n'en fait pas une preuve constructive ?
  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : comment sais-tu que $\pi \log 2$ est irrationnel ?
  • Chaurien
    Chaurien
    D'accord, il y a un réel $x>0$ tel que $x^x=2$, mais prouver qu'il est irrationnel, c'est sans doute faisable, comme pour $\sqrt 2$, mais ce n'est pas immédiat, non ?.
  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Pour une preuve non constructive de l'existence de deux irrationnels (ou même transcendants $x$ et $y$), un simple argument de cardinalité suffit. Il existe par exemple un ensemble non dénombrable de couples de réels strictement positifs $(x,y)$ tels que $x^y = 2$. Or seul un sous-ensemble dénombrable de ceux-ci à une coordonnée rationnelle. Il y en a donc forcément d'autres.
  • JLT
    JLT
    Supposons que $x=\frac{a}{b}$ avec $a,b$ entiers naturels premiers entre eux. On a $a^a=2^bb^a$ donc $av_2(a)=b+av_2(b)$. On en déduit que $a$ divise $b$ donc $a=1$. Il vient $1=2^bb$ ce qui est impossible.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins

    La preuve classique de Chaurien doit-elle être considérée constructive ou non ? En quelque sorte on exhibe modulo une discussion.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    En admettant le théorème de Lindemann, est-ce que l’on ne pourrait pas s’en sortir avec le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction exponentielle ?
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