Limite puis développement asymptotique

cyrillenet30
cyrillenet30
dans Analyse
Bonjour,
j'essaie sans succès de déterminer la limite de la suite $$ (u_n)_n=\bigg( n!\sum_{k=n}^{2n}\dfrac{1}{k!}\bigg)_n
$$ puis d'un DAS à l'ordre 4 suivant l'échelle $\dfrac{1}{n^\alpha}$.

Un encadrement par les bornes de la sommation est trop grossier et n'aboutit pas.
J'ai aussi essayé d'exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ mais cela n'aboutit à rien de probant non plus.
Y a-t-il une méthode générale pour aborder ce genre de "tranche de Cauchy" ?
Si vous avez une idée, je suis preneur.
Merci.

Réponses

  • Tryss
    Tryss
    Pour la limite, on a
    \[n! \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k!} = 1+ \frac{1}{n+1} + \underbrace{\frac{1}{(n+1)(n+2)} + \cdots + \frac{1}{(n+1)\cdots (2n)}}_{n-1 \text{ facteurs}}
    \] Donc
    \[ 1 \leq n! \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{k!} \leq 1+ \frac{1}{n+1} + \frac{n-1}{(n+1)(n+2)} .

    \] Et on peut procéder de la même façon pour pour un DAS à l'ordre N, en gardant juste plus de termes.
  • cyrillenet30
    cyrillenet30
    Merci !
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