Équivalent série de fonctions

Bonjour
Je ne sais pas si on utilise un théorème mais on a

$\dfrac{1}{1+n^2 x^2} = \dfrac{1}{n^2 x^2} -\dfrac{1}{n^2 x^2 \left(1+n^2 x^2\right)}$

Lorsqu'on somme sur $\N^*$ on montre facilement que le premier terme est $\dfrac{\pi ^2}{6 x^2}$ et le deuxième terme est un $o(1/x^2)$


Autre méthode: un calcul explicite de la série est possible et reste à faire un DL.

@totem : c'est exactement ce qu'a fait bd2017 si tu regardes bien !

Une comparaison série/intégrale devrait aussi donner un équivalent.

Effectivement, je viens de faire les calculs et avec une comparaison série intégrale classique on trouve $1/x^2\leq f(x) \leq 2/x^2$ pour $x$ assez grand, ce qui n'est pas suffisant pour obtenir un équivalent.

Totem : Il y a aussi l'éventualité où l'on se serait trompés tous les deux ;-)

Ta minoration ne peut pas être correcte, si on a $f(x) \sim \pi^2/6x^2$ alors on ne peut avoir $f(x) \geq \pi/2x$ puisque $1/x^2 = o_\infty(1/x)$.

En fait j'ai l'impression que tu as inversé le sens de tes majorations. On a
\[
\int_1^\infty \frac{1}{1+x^2t^2} \mathrm dt \leq f(x) \leq \int_0^\infty \frac{1}{1+x^2t^2} \mathrm dt
\]
et si on calcule ces intégrales on retrouve ce que tu avais annoncé avec inversion des inégalités :
\[
(1/x)(\pi/2-\arctan(x))\leq f(x) \leq \frac{\pi}{2x}.
\]
Pour retrouver le $1/x^2$ en minoration on peut faire un développement asymptotique de $\arctan$. Pour la majoration en $2/x^2$ il faut en fait séparer le premier terme de la somme du reste. On obtient alors
\[
f(x) \leq \frac{1}{1+x^2} + \int_1^\infty \frac{1}{1+x^2t^2} \mathrm dt,
\]
on réutilise le même développement asymptotique et on trouve bien $f(x)\leq\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{x^2}\leq 2/x^2$.