Fonction définie par intégrale
Bonjour.
Comme je l'ai dit la dernière fois, je travaille sur des notions où je sais que j'ai encore assez de lacunes.
Je suis donc en train de parcourir les notions selon mon rythme. J'ai donc commencé à réviser le chapitre sur l'intégration mais j'ai assez de difficultés avec l'étude des fonctions définies par intégrale.
Les questions du genre
- Déterminer la limite de la fonction en un point $a \in \mathbb{R}$
- Donner un équivalent de la fonction en un point $a \in \mathbb{R}$ ou $\infty$.
Je mets donc en bas des exercices qui correspondent à mes questions.
Exo1. Calculer $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\}} \displaystyle \int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{\ln t} \, \mathrm{d}t$
Exo2. Pour $x >0$, on pose $f(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x+\sin^{2}(t)} \, \mathrm{d}t$.
1- Limites de $f$ en $0^{+} , +\infty$
2- Équivalent de $f$ en $0^{+} , +\infty$.
Si vous avez assez d'exercices de ce genre qui peuvent me former, je suis preneur car je veux vraiment être à l'aise avec tout ça.
Merci d'avance pour votre compréhension.
Comme je l'ai dit la dernière fois, je travaille sur des notions où je sais que j'ai encore assez de lacunes.
Je suis donc en train de parcourir les notions selon mon rythme. J'ai donc commencé à réviser le chapitre sur l'intégration mais j'ai assez de difficultés avec l'étude des fonctions définies par intégrale.
Les questions du genre
- Déterminer la limite de la fonction en un point $a \in \mathbb{R}$
- Donner un équivalent de la fonction en un point $a \in \mathbb{R}$ ou $\infty$.
Je mets donc en bas des exercices qui correspondent à mes questions.
Exo1. Calculer $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 1 \\}} \displaystyle \int_{x}^{x^{2}} \frac{1}{\ln t} \, \mathrm{d}t$
Exo2. Pour $x >0$, on pose $f(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{x+\sin^{2}(t)} \, \mathrm{d}t$.
1- Limites de $f$ en $0^{+} , +\infty$
2- Équivalent de $f$ en $0^{+} , +\infty$.
Si vous avez assez d'exercices de ce genre qui peuvent me former, je suis preneur car je veux vraiment être à l'aise avec tout ça.
Merci d'avance pour votre compréhension.
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Réponses
Il y a aussi l'intégrale à paramètre comme par exemple $W(x)= \displaystyle \int_{0}^{\frac {\pi}2} (\sin \theta)^x d \theta$, qui n'est pas un perdreau de l'année, elle non plus.
Ton second exemple $F(x)=\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{x}} \frac{dt}{x+ \sin^2 t}$ est un mélange des deux car la variable $x$ est présente à la fois dans les bornes et dans l'intégrande. Sur les quatre questions que tu poses à son sujet, trois sont faciles et la quatrième l'est moins. Note que c'est une primitive élémentaire. Dans les annales, on ne trouve pas beaucoup d'exercices de ce type mixte.
Bon courage, bonne journée d'été indien
Fr. Ch.
17/09/2020
Pour la première, oui je vois comment il faut faire . Je vais trouver un équivalent de la fonction qui est sous le signe intégrale ,puis montrer que la différence des deux se prolonge par continuité en 1.
Mais je me dis que ce n’est pas tout te temps de cette manière, c’est pour cela que je veux bien des exercices à ce sujet :-)
Merci @P pour cette approche, mais je veux utiliser les outils de première année pour résoudre ce genre d'exercices après je sais qu'on peut utiliser d'autres outils que je ne connais pas pour l'instant...
Bonne journée.
Fr. Ch.
Ce type d'intégrale appartient plutôt au programme de Maths-Spé (deuxième année), avec les théorèmes de convergence dominée très efficaces.
Voici quand même un énoncé de ce type, très ancien lui aussi, mais qui a refait surface dans un oral en 2012 et qu'on peut traiter plus élémentairement.
Bon courage.
Fr. Ch.