Exponentielle complexe
Bonjour à tous,
Soit $(x_{n})$ une suite de réels. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(a) la suite $(\exp(itx_{n})$ converge pour tout $t \in \mathbb{R}$
(b) la suite $(x_{n})$ converge.
Alors un sens est facile par continuité de l'exponentielle complexe $(b)$ implique $(a)$. Pour la réciproque alors j'ai une piste ! Mon dieu quelle est belle mon dieu qu'elle ne marche pas ! :)o
Plus sérieusement, voici mon idée. Pour montrer que $x_{n}$ converge montrer que sa lim sup $\overline{m}$ et sa lim inf $\underline{m}$ sont égales. Déjà supposons qu'elles sont finies toutes les deux.
Puisque $(\exp(itx_{n})$ converge on en déduit que $ \exp(it \underline{m}) = \exp(it \overline{m})$ et donc
$ \underline{m} - \overline{m} = 2\pi \frac{k(t)}{t}$ bon je viens de me rendre compte que $k$ dépend de $t$. Après $k(t)$ est à valeur dans $\mathbb{N}$ donc je dois pouvoir m'en sortir. Voilà par exemple si $\underline{m} \ne \overline{m}$ alors $t = \frac{1}{\underline{m} - \overline{m}}$ nous dit que $k(t) = \frac{1}{2\pi}$
Maintenant si l'une des deux limites n'est pas finie comment conclure ? Je ne vois pas.
Et puis si vous avez une autre preuve pas de souci, je suis là pour apprendre !
Soit $(x_{n})$ une suite de réels. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(a) la suite $(\exp(itx_{n})$ converge pour tout $t \in \mathbb{R}$
(b) la suite $(x_{n})$ converge.
Alors un sens est facile par continuité de l'exponentielle complexe $(b)$ implique $(a)$. Pour la réciproque alors j'ai une piste ! Mon dieu quelle est belle mon dieu qu'elle ne marche pas ! :)o
Plus sérieusement, voici mon idée. Pour montrer que $x_{n}$ converge montrer que sa lim sup $\overline{m}$ et sa lim inf $\underline{m}$ sont égales. Déjà supposons qu'elles sont finies toutes les deux.
Puisque $(\exp(itx_{n})$ converge on en déduit que $ \exp(it \underline{m}) = \exp(it \overline{m})$ et donc
$ \underline{m} - \overline{m} = 2\pi \frac{k(t)}{t}$ bon je viens de me rendre compte que $k$ dépend de $t$. Après $k(t)$ est à valeur dans $\mathbb{N}$ donc je dois pouvoir m'en sortir. Voilà par exemple si $\underline{m} \ne \overline{m}$ alors $t = \frac{1}{\underline{m} - \overline{m}}$ nous dit que $k(t) = \frac{1}{2\pi}$
Maintenant si l'une des deux limites n'est pas finie comment conclure ? Je ne vois pas.
Et puis si vous avez une autre preuve pas de souci, je suis là pour apprendre !
Réponses
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Qu'est-ce qui te permet d'affirmer que $\exp(it \underline{m}) = \exp(it \overline{m})$ ?
Moi je chercherais plutôt à montrer que $(x_n)_n$ est de Cauchy. -
Comme la suite $exp(i t x_{n})$ converge par hypothèse alors toute suite extraite converge vers la même limite.
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Oui effectivement.
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Pouvez vous m'en dire plus sur votre idée ?
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Mon prof m'a expliqué comment régler mon souci ! C'est astucieux (il faut utiliser Riemann Lebesgue).
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Peux-tu donner plus de détails stp ?
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Si $ \lim e^{itx_n}=\ell(t)$ il existe $t_0$ tel que $L(t_0)=\int_0^{t_0}\ell(u)du\neq 0$ (sinon $L'(t)=\ell(t)=0 $ p.p ce qui contredit $|\ell(t)|=1$). Donc
$$x_n=\frac{e^{it_0x_n}-1}{i\int_0^{t_0}e^{iux_n}du}\rightarrow\frac{\ell(t_0)-1}{iL(t_0)}.$$
(Ajoute deux $i$ et un $t_0$ comme signale ci dessous ) -
C'est très direct (mais quand même pas mal astucieux) P, merci.
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Merci P. j'allais taper la preuve mais de manière moins élégante
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Le défaut de la qualité de la preuve, c'est que ça fait appel à du lourd (Lebesgue), mais on ne peut pas nier la clarté ni la concision.
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Il manque un $i$ je crois dans la preuve de P.
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Il manque aussi un $0$ en indice d'un $t$.
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Est-ce qu'il existe une preuve plus "élémentaire" ?
Parce que si je ne m'abuse la preuve de P (et ça n'enlève rien à sa preuve de le dire, bien au contraire) utilise :
- théorie de la mesure ($l(t)$ est mesurable comme limite de fonctions mesurables)
- théorème fondamental de l'analyse pour l'intégrale de Lebesgue (qui est beaucoup plus compliqué qu'avec Riemann)
- théorème de convergence dominée pour prouver la limite de l'intégrale (un gros théorème d'analyse)
C'est là qu'on voit la puissance de l'abstraction (et du calcul intégral en l'occurrence) en maths, mais ça reste intéressant de voir si on peut résoudre l'énoncé avec moins de connaissances. -
Bonjour,
Voici une preuve élémentaire incomplète.
Montrons que $(x_n)$ ne peut pas tendre vers $+\infty$ : à compléter. Alors, $(x_n)$ doit être bornée, car sinon on peut extraire une sous-suite qui tends vers $\pm\infty$. De plus, pour toute sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ convergeant vers un $x_\varphi$, on a : $\forall t, \,\ell(t) = e^{itx_\varphi}$. Or $$\forall (x_\varphi,x_\psi ) \in\Bbb R^2,\quad (\forall t, e^{itx_\varphi} = e^{itx_\psi} ) \Rightarrow \left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} e^{itx_\varphi} \right|_{t=0} = \left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} e^{itx_\psi} \right|_{t=0} \Rightarrow x_\varphi= x_\psi$$ donc les sous-suites convergentes de $(x_n)$ partagent la même limite, et celle-ci est par conséquent aussi limite de la suite bornée $(x_n)$.
Je sais montrer avec la théorie de la mesure que $(x_n)$ ne tend pas vers $+\infty$ (ça ressemble à ce qu'a fait P.), mais je ne sais pas le faire de manière élémentaire. -
Il ne faut pas espérer une preuve vraiment "super simple", de toute façon cet exo est la partie "difficile" du fait que une limite de variables gaussiennes est une gaussienne. C'est plus ou moins une version du théorème de Lévy (et une application de ce théorème dans le cas de variables déterministes).
Vu qu'il faut exploiter le "pour tout $t$", on est vite obligé d'intégrer ou dériver ... -
supp
-
Je ne sais pas ce qu'utilise P, mais moi j'utilise le théorème fondamental de l'analyse dans le cadre de Lebesgue pour justifier que $L'(t)=l(t)$ presque partout. Il en va de même du reste. On peut "sauter des lignes", ça ne signifie pas que les théorèmes qui les justifient disparaissent pour autant.
Mais peut-être ai-je raté des choses qui simplifient sa preuve. -
supp
-
Oui c'est une question de vocabulaire, dans le mien le théorème de différentiation de Lebesgue c'est ça : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_différentiation_de_Lebesgue#:~:text=En mathématiques, et plus particulièrement,une intégrale » lorsque l'on
Mais c'est effectivement à la base de la démonstration du théorème fondamental, et c'est pour ça que je dis que la preuve de P fait finalement appel à [pas] mal d'outils non triviaux. -
Question subsidiaire : est-ce qu'on peut remplacer le (a) de l'exercice par
(a') la suite $\exp(itx_n)$ converge pour (au moins) deux valeurs de $t$ incommensurables (par exemple $t=1$ et $t=\pi$).Après je bloque. -
Le théorème de Lévy auquel je fais référence est le suivant : le théorème de Lévy
Quand je parle de gaussiennes, le résultat standard est que si $\mathcal{N}(m_n,\sigma_n^2)$ converge (en loi) vers $X$, alors $X$ est une gaussienne de paramètres $(m,\sigma)$ et $m_n\to m ; \sigma_n \to \sigma$. -
@i.zitoussi : Non, par exemple si on prend une suite de rationnels $\frac{p_n}{q_n}$ vérifiant $\left|\pi - \frac{p_n}{q_n}\right| \leq \frac{1}{q_n^2}$ (ce qui peut s'obtenir avec le développement en fractions continuées de $\pi$ ou en invoquant le théorème de Dirichlet en approximation diophantienne), alors $x_n = 2 p_n$ convient.
-
@Poirot: Merci! J'étais "presque sur" que la réponse à ma question était oui mais je n'en voyais pas la preuve. J'aurais pu chercher longtemps!
Pour ceux (comme moi) qui ont du mal à faire la gymnastique, la suite $x_n=2p_n$ donnée par Poirot satisfait $\lim \exp(i.\pi. x_n) = 1$ (elle est en fait stationnaire), $\lim \exp(i.1. x_n) = 1$ (car $2p_n$ "se rapproche de plus en plus d'un multiple de $2\pi$"), alors que $\lim x_n = \infty$.Après je bloque. -
Merci à tous les deux.
Pour mémoire : https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_approximation_theorem -
supp
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Bonjour!
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