Exponentielle complexe
Bonjour à tous,
Soit $(x_{n})$ une suite de réels. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(a) la suite $(\exp(itx_{n})$ converge pour tout $t \in \mathbb{R}$
(b) la suite $(x_{n})$ converge.
Alors un sens est facile par continuité de l'exponentielle complexe $(b)$ implique $(a)$. Pour la réciproque alors j'ai une piste ! Mon dieu quelle est belle mon dieu qu'elle ne marche pas ! :)o
Plus sérieusement, voici mon idée. Pour montrer que $x_{n}$ converge montrer que sa lim sup $\overline{m}$ et sa lim inf $\underline{m}$ sont égales. Déjà supposons qu'elles sont finies toutes les deux.
Puisque $(\exp(itx_{n})$ converge on en déduit que $ \exp(it \underline{m}) = \exp(it \overline{m})$ et donc
$ \underline{m} - \overline{m} = 2\pi \frac{k(t)}{t}$ bon je viens de me rendre compte que $k$ dépend de $t$. Après $k(t)$ est à valeur dans $\mathbb{N}$ donc je dois pouvoir m'en sortir. Voilà par exemple si $\underline{m} \ne \overline{m}$ alors $t = \frac{1}{\underline{m} - \overline{m}}$ nous dit que $k(t) = \frac{1}{2\pi}$
Maintenant si l'une des deux limites n'est pas finie comment conclure ? Je ne vois pas.
Et puis si vous avez une autre preuve pas de souci, je suis là pour apprendre !
Soit $(x_{n})$ une suite de réels. Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes :
(a) la suite $(\exp(itx_{n})$ converge pour tout $t \in \mathbb{R}$
(b) la suite $(x_{n})$ converge.
Alors un sens est facile par continuité de l'exponentielle complexe $(b)$ implique $(a)$. Pour la réciproque alors j'ai une piste ! Mon dieu quelle est belle mon dieu qu'elle ne marche pas ! :)o
Plus sérieusement, voici mon idée. Pour montrer que $x_{n}$ converge montrer que sa lim sup $\overline{m}$ et sa lim inf $\underline{m}$ sont égales. Déjà supposons qu'elles sont finies toutes les deux.
Puisque $(\exp(itx_{n})$ converge on en déduit que $ \exp(it \underline{m}) = \exp(it \overline{m})$ et donc
$ \underline{m} - \overline{m} = 2\pi \frac{k(t)}{t}$ bon je viens de me rendre compte que $k$ dépend de $t$. Après $k(t)$ est à valeur dans $\mathbb{N}$ donc je dois pouvoir m'en sortir. Voilà par exemple si $\underline{m} \ne \overline{m}$ alors $t = \frac{1}{\underline{m} - \overline{m}}$ nous dit que $k(t) = \frac{1}{2\pi}$
Maintenant si l'une des deux limites n'est pas finie comment conclure ? Je ne vois pas.
Et puis si vous avez une autre preuve pas de souci, je suis là pour apprendre !
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Réponses
Moi je chercherais plutôt à montrer que $(x_n)_n$ est de Cauchy.
$$x_n=\frac{e^{it_0x_n}-1}{i\int_0^{t_0}e^{iux_n}du}\rightarrow\frac{\ell(t_0)-1}{iL(t_0)}.$$
(Ajoute deux $i$ et un $t_0$ comme signale ci dessous )
Parce que si je ne m'abuse la preuve de P (et ça n'enlève rien à sa preuve de le dire, bien au contraire) utilise :
- théorie de la mesure ($l(t)$ est mesurable comme limite de fonctions mesurables)
- théorème fondamental de l'analyse pour l'intégrale de Lebesgue (qui est beaucoup plus compliqué qu'avec Riemann)
- théorème de convergence dominée pour prouver la limite de l'intégrale (un gros théorème d'analyse)
C'est là qu'on voit la puissance de l'abstraction (et du calcul intégral en l'occurrence) en maths, mais ça reste intéressant de voir si on peut résoudre l'énoncé avec moins de connaissances.
Voici une preuve élémentaire incomplète.
Montrons que $(x_n)$ ne peut pas tendre vers $+\infty$ : à compléter. Alors, $(x_n)$ doit être bornée, car sinon on peut extraire une sous-suite qui tends vers $\pm\infty$. De plus, pour toute sous-suite $(x_{\varphi(n)})$ convergeant vers un $x_\varphi$, on a : $\forall t, \,\ell(t) = e^{itx_\varphi}$. Or $$\forall (x_\varphi,x_\psi ) \in\Bbb R^2,\quad (\forall t, e^{itx_\varphi} = e^{itx_\psi} ) \Rightarrow \left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} e^{itx_\varphi} \right|_{t=0} = \left. \frac{\rm d}{{\rm d}t} e^{itx_\psi} \right|_{t=0} \Rightarrow x_\varphi= x_\psi$$ donc les sous-suites convergentes de $(x_n)$ partagent la même limite, et celle-ci est par conséquent aussi limite de la suite bornée $(x_n)$.
Je sais montrer avec la théorie de la mesure que $(x_n)$ ne tend pas vers $+\infty$ (ça ressemble à ce qu'a fait P.), mais je ne sais pas le faire de manière élémentaire.
Vu qu'il faut exploiter le "pour tout $t$", on est vite obligé d'intégrer ou dériver ...
Mais peut-être ai-je raté des choses qui simplifient sa preuve.
Mais c'est effectivement à la base de la démonstration du théorème fondamental, et c'est pour ça que je dis que la preuve de P fait finalement appel à [pas] mal d'outils non triviaux.
(a') la suite $\exp(itx_n)$ converge pour (au moins) deux valeurs de $t$ incommensurables (par exemple $t=1$ et $t=\pi$).
Quand je parle de gaussiennes, le résultat standard est que si $\mathcal{N}(m_n,\sigma_n^2)$ converge (en loi) vers $X$, alors $X$ est une gaussienne de paramètres $(m,\sigma)$ et $m_n\to m ; \sigma_n \to \sigma$.
Pour ceux (comme moi) qui ont du mal à faire la gymnastique, la suite $x_n=2p_n$ donnée par Poirot satisfait $\lim \exp(i.\pi. x_n) = 1$ (elle est en fait stationnaire), $\lim \exp(i.1. x_n) = 1$ (car $2p_n$ "se rapproche de plus en plus d'un multiple de $2\pi$"), alors que $\lim x_n = \infty$.
Pour mémoire : https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_approximation_theorem