Trouver un contre-exemple
Bonjour
Savez-vous comment constrire $f \in L^2(\mathbb{R}^3)$ telle que la fonction $u$ définie pour $(t,x)\in\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^3$ par
$$u(t,x)=t\int_{\omega \in S}f(x+t\omega)\,\mathrm{d}\omega \,,
$$ avec $S$ la sphère unité de $\mathbb{R}^3$, n'est pas dans $L^2_t L^{\infty}_x =\left\{v\,, \int_{\mathbb{R}} \|v(t,\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^3)}^2\,\mathrm{d}t < \infty\right\}$ ?
Afin d'éviter les problèmes de bonne définition de $u$ en fonction de $f$, on demande de plus à ce que $f$ soit continue sauf en un nombre dénombrable de points par exemple.
Cette construction est possible (explicitement), mais j'aimerais bien voir vos idées sur ce genre de problème et comment on trouve naturellement un exemple.
Savez-vous comment constrire $f \in L^2(\mathbb{R}^3)$ telle que la fonction $u$ définie pour $(t,x)\in\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^3$ par
$$u(t,x)=t\int_{\omega \in S}f(x+t\omega)\,\mathrm{d}\omega \,,
$$ avec $S$ la sphère unité de $\mathbb{R}^3$, n'est pas dans $L^2_t L^{\infty}_x =\left\{v\,, \int_{\mathbb{R}} \|v(t,\cdot)\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^3)}^2\,\mathrm{d}t < \infty\right\}$ ?
Afin d'éviter les problèmes de bonne définition de $u$ en fonction de $f$, on demande de plus à ce que $f$ soit continue sauf en un nombre dénombrable de points par exemple.
Cette construction est possible (explicitement), mais j'aimerais bien voir vos idées sur ce genre de problème et comment on trouve naturellement un exemple.
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Réponses
Soit $\chi:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ une fonction continue qui vaut $1$ sur $B(0,1)$ et $0$ en dehors de $B(0,2)$. Notons $|.|$ la distance euclidienne et prenons $f: x\mapsto |x|^{-1} \chi(x)$. Alors $\int_{\Bbb R^3} f^2$ a la même nature que $\int_0^1 t^{2-2\times 1}\,{\rm d}t$, donc $f\in L^2(\Bbb R^3)$. De plus, $\forall t<1, u(t,0) = 4\pi t^{-1}$ donc $\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t \geqslant \int_0^1 (4\pi t^{-1})^2 \,{\rm d}t=+\infty$.
Ai-je bien respecté le cahier des charges ? À te lire, j'ai l'impression que les exemples sont censés être plus compliqués, donc j'ai peut-être raté quelque chose.
Je suis vraiment désolé, j'ai oublié un facteur $t$ dans la définition de $u$ ... cela change la donne.
Cela dit, le contre-exemple connu n'est pas si compliqué, mais je ne le comprends pas complètement du coup je demande à un public qui ne le connaît pas déjà, puisque une fois qu'on connaît cet exemple c'est difficile de penser à un autre.
:-(
Nouvelle tentative. Soit, pour tout $r>0$, $\chi_r:\Bbb R^3 \to [0,1]$ une fonction continue qui vaut 1 sur $B(0,r)$ et 0 en dehors de $B(0,2r)$. Soit $e$ un vecteur unitaire de $\Bbb R^3$. Posons, de façon naturelle et spontanée (:P), $$f:x\mapsto \sum_{n=2}^\infty n^3 \chi_{1/n^2}(x-ne).$$ Cette somme est en fait finie car les supports des $\chi_{1/n^2}(\cdot-ne)$ sont disjoints. Alors $\newcommand\sp[1]{\,#1\,}$
$$\begin{eqnarray*}
\int_{\Bbb R^3} f^2 \sp\leqslant \sum_{n=2}^\infty n^3 \, \lambda(B(ne,\frac2{n^2})) \sp= \sum_{n=2}^\infty n^3 \frac43 \pi \frac8{n^6} \sp< +\infty
\end{eqnarray*}$$
Posons $\nu : t\mapsto \max\{n\in\Bbb N^* \mid t\leqslant \frac1{n^2}\}$.
$$\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t &\geqslant& \int_0^{1/4} u(t,\nu(t) e)^2 \,{\rm d}t \\
&=& \int_0^{1/4} \left(t \, 4\pi \nu(t)^3 \right)^2 \,{\rm d}t \\
&\geqslant& \int_0^{1/4} \left(\frac1{(\nu(t)+1)^2} 4\pi \nu(t)^3 \right)^2 \,{\rm d}t \\
&=& \sum_{n=2}^\infty \left(\frac1{(n+1)^2} 4\pi n^3 \right)^2 \lambda(\{t \mid \nu(t)=n \}) \\
&=& \sum_{n=2}^\infty \left(\frac1{(n+1)^2} 4\pi n^3 \right)^2 \left(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2} \right) \\
&\geqslant& (4\pi)^2 \sum_{n=2}^\infty \frac{n^6}{(n+1)^7} \\
&=& +\infty
\end{eqnarray*}$$
Cela dit, je pense qu'on peut réadapter ton exemple. Malheureusement, une inspection rapide de ta preuve avec, cette fois-ci, la fonction $f(x)=\sum_n n^{\alpha}\chi_{n^{-\beta}}(x-ne)$ demande que $2\alpha -3\beta<-1$ pour que $f\in L^2$, mais pour faire diverger $u$ il "faut" $2\alpha-3\beta>0$.
Une manière de modifier ta preuve serait de déplacer tes boules $B(ne,1/n^2)$ à mon avis pour qu'elles tiennent compte naturellement du fait que $u(t, \cdot)$ intègre sur une sphère de rayon $t$.
Il est vraiment compliqué ton problème. Quelques remarques que me suis faites en reréfléchissant à cette histoire :
$\bullet$ Si $f$ est un contre-exemple, alors $|f|$ aussi. Donc on peut ne regarder que des fonctions positives.
$\bullet$ On a par Cauchy-Schwarz : $$\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t
&\sp\geqslant& \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty u(t,x)^2 \,{\rm d}t \\
&=& \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty t^2 \left(\int_S f(t\omega) \,{\rm d}\omega \right)^2 {\rm d}t \\
&\leqslant& \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty 4\pi t^2 \int_S f(t\omega)^2 \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t \\
&=& 4\pi \int_{\Bbb R^3} f^2.
\end{eqnarray*}$$
Donc si on veut un contre-exemple, on doit absolument avoir $\displaystyle \sup_{x\in\Bbb R} \int_0^\infty u(t,x)^2 \,{\rm d}t \sp< +\infty \sp =\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t $. Et je ne sais pas comment l'obtenir.
$\bullet$ Mettons qu'on ne minore $\|u(t,\cdot)\|_\infty^2$ qu'en regardant un nombre dénombrable de points $x$. On a donc une suite $(x_n)$ et une partition $(A_n)$ d'un intervalle de $\Bbb R_+^*$ qui permettent de faire la minoration $$\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t \sp\geqslant \sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} u(t,x_n)^2 \,{\rm d}t.
$$ Evidemment on veut avoir $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} u(t,x_n)^2 \,{\rm d}t = +\infty$ et $f\in L^2$. J'ajoute l'hypothèse qu'on ne regarde que des sphères disjointes dans la minoration : $\forall t\in A_n, \forall s\in A_m, s\neq t\Rightarrow \partial B(x_n,t) \cap \partial B(x_m,s)=\varnothing$. C'était le cas dans ma tentative. Alors $$\begin{eqnarray*}
\sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} u(t,x_n)^2 \,{\rm d}t
&\sp\leqslant& \sum_{n=0}^\infty \int_{A_n} 4\pi t^2 \int_S f(x_n+t\omega)^2 \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t \\
&\sp=& 4\pi \sum_{n=0}^\infty \int_{\{x_n+t\omega \mid t\in A_n,\omega\in S\}} f^2 \,{\rm d}\lambda \\
&\sp\leqslant& 4\pi \int_{x\in\Bbb R^3} f^2 \,{\rm d}\lambda \\
&\sp<& +\infty
\end{eqnarray*}$$
car les $\{x_n+t\omega \mid t\in A_n,\omega\in S\}$ sont disjoints. Donc cette démarche est un échec. Ça ferme la porte à plein de bricolages et recollement possibles de fonctions. :-(
Edit : J'ai enlevé mes "$\Bbb E$" qui obscurcissaient les choses.
En cherchant à faire apparaitre le problème vers $+ \infty$ (donc les équivalence qui suivent sont en l'infini) :
Si on prends une fonction positive de $L^2$ qui n'est pas dans $L^1$, on va avoir, pour tout x,
$\int_0^\infty \int_S f(t\omega + x) d\omega dt= + \infty$ et $\int_0^\infty \int_S f^2(t\omega + x) d\omega dt= C$
Si, de plus, la fonction est radiale, en notant $g(t) = f(t\omega) \mu(S)$. on obtient
$\int_0^\infty g(t) dt = + \infty$ et $\int_0^\infty g^2(t) dt= C$
Donc on va regarder $g(t) \sim \frac{1}{t}$, et alors,
$u(t,0) = t \int_S f(t\omega) d\omega = t g(t) \sim 1$
Ce qui va entrainer que
$\int_0^\infty \| u(t,.) \|^2_\infty dt = + \infty$
Au final, la fonction $f(x) = \text{min}(1, \frac{1}{\|x\|})$ devrait convenir
Calli cherchait à obtenir un contre-exemple un peu plus fort, tel que $u \notin L^2_t\times L^{\infty}_x([0,1]\times \mathbb{R}^3)$, c'est pour ça que c'est plus difficile.
Je propose donc que l'on cherche à construire un tel exemple. Et ce n'est a priori pas si simple de transformer l'exemple de Tryss. Il va falloir que $f$ soit grosse, non pas en l'infini mais en au voisinage d'un point.
EDIT : je me suis fait avoir, j'ai mal lu
$$\int_0^\infty u(t,0)^2 \,{\rm d}t
\sp= \int_0^\infty t^2 \left(\int_S f(t\omega) \,{\rm d}\omega \right)^2 {\rm d}t
\sp\leqslant \int_0^\infty 4\pi t^2 \int_S f(t\omega)^2 \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t
\sp= 4\pi \int_{\Bbb R^3} f^2
\sp< +\infty$$
par Cauchy-Schwarz.
D'ailleurs :
$\displaystyle \int_0^\infty \int_S f(t\omega + x) \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t$ n'est a priori pas égal à $\displaystyle \int_{\Bbb R^3} f$. C'est $\displaystyle \int_0^\infty t^2 \int_S f(t\omega + x) \,{\rm d}\omega \,{\rm d}t$ qui vaut $\displaystyle \int_{\Bbb R^3} f$ parce que $S$ est la sphère unité.
$\displaystyle \int_{\Bbb R^3} f^2 = \int_0^\infty 4\pi t^2 \min(1,\frac1{t^2}) \,{\rm d}t = +\infty$ donc $f\not\in L^2(\Bbb R^3)$.
Pour avancer, disons qu'on souhaite garder l'idée directrice qu'il y a des fonctions dont le carré est intégrable au voisinage d'un point de $\mathbb{R}^3$ mais pas intégrable sur des sphères qui passent par ce point, et continuons de chercher $f$ radiale qui devient très grande au voinage de $0$, avec par exemple $f(x)=|x|^{-\alpha}$. Prenons $e$ un vecteur unitaire, alors on s'attend à ce que $u(t,te)$ soit énorme parce que la sphère de rayon $t$ de centre $e$ passe par $0$.
$f \in L^2$ à condition que $\alpha>3/2$ et on aimerait regarder $u(t,te)=t\int_{S^2}f(t,te)d\omega = t \sum _k \int_{S^2} \mathbf{1}_{|x|\sim 2^{-k}}d\omega$. Pythoagore assure que $\lambda_{2}(\{|x|\sim 2^{-k} \cap S(te,t)\}) \sim 2^{-2k}$ de sorte que $\|u(t, \cdot)\|_{L^{\infty}} \geq \sum_k 2^{((\alpha-2)k}$ et donc on voudrait prendre essentiellement $\alpha=2$, problème, ça ne donne pas $f \in L^2$, on a $f \approx L^{3/2}$.
Soient $\chi:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ une fonction continue qui vaut $1$ sur $B(0,1)$ et $0$ en dehors de $B(0,2)$ et $f: x\mapsto |x|^{-1} \chi(x)$ (oui oui, je reprends mon tout premier exemple !). Alors $f\in L^2$.
Ensuite, soient $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\Bbb R^3$ et $\varepsilon = 10^{-3}$. On a $$\begin{eqnarray*}
\int_0^\infty \|u(t,\cdot)\|_\infty^2 \,{\rm d}t
&\geqslant& \int_0^1 u(t, te_3)^2 \,{\rm d}t \\
&\geqslant& \int_0^1 t^2 \left(\int_S f(te_3 + t\omega) \, {\bf 1}_{\langle \omega,-e_3 \rangle >\cos(\varepsilon)} \,{\rm d}\omega\right)^2 {\rm d}t \\
&\approx& \int_0^1 t^2 \left(\int_{B_{\Bbb R^2} (0,\varepsilon ) \times\{0\}} f(ty) \,{\rm d}y\right)^2 {\rm d}t \\
&=& \int_0^1 \frac1{t^2} \left(\int_{B_{\Bbb R^2} (0,\varepsilon t) \times\{0\}} f(z) \,{\rm d}z\right)^2 {\rm d}t \\
&=& \int_0^1 \frac1{t^2} \left(\int_0^{\varepsilon t} 2\pi s \frac1s \,{\rm d}s\right)^2 {\rm d}t \\
&=& 4\pi^2 \varepsilon^2 \int_0^1 \frac1{t} {\rm d}t \qquad édit\, : \ 4\pi^2 \varepsilon^2 \int_0^1{\rm d}t \\
&=& +\infty \qquad édit\, : \ <\infty
\end{eqnarray*}$$
Reste à savoir si je n'ai pas fait d'erreur de calcul (:-o) et si tu es convaincu par mon "$\approx$". J'ai la flemme d'essayer de formaliser le $\approx$, mais je pense/j'espère que ça tient la route.
En revanche, c'est bizarre parce que quand je fais le calcul à ma sauce pour ton $u(t,te_3)$ j'ai que des intégrales qui convergent (mais $B(te_3,t) \cap \{|x| \sim 2^{-k}\} \sim t$ est pénible à estimer pour $t$ petit, faudra que je refasse le calcul).
Edit : en faisant ce calcul proprement, je trouve que ton $u \notin L^2_tL^{\infty}_x$. Mais ça m'a permis de comprendre mieux le contre exemple "connu" : la fonction que j'ai donnée plus haut peut être regardée pour $t \in [1,2]$, ce qui évite les problèmes de taille de $t$ proche de zéro dans l'estimation de l'ensemble $B(te_3,t) \cap \{|x| \sim 2^{-k}\}$; et la fonction est également regardée uniquement sur $B(e_3,2) \setminus B(e_3,1)$ (l'ensemble balayé pour $t \in [1,2]$). Il se trouve que cette fois-ci la fonction $f$ est bien $L^2$ (modulo une modification logarithmique supplémentaire). Je pourrais donner des détails si tu veux. Mais c'est peut-être sympa d'aller construire par toi/nous-même un contre-exemple !
Et mon intégrale sur $B_{\mathbb{R}^2}\times\{0\}$ est en fait une intégrale 2D pour la mesure de Lebesgue 2D du plan $\Bbb R^2\times\{0\}$. C'est vrai que c'est ambigu.
Bon j'en ai marre, je jette l'éponge. C'est vraiment imbitable comme problème ^^. Maintenant au moins tu sais que, si le contre-exemple que tu connais est compliqué, il y a une bonne raison à ça.
Il y a des contre-exemples bien plus compliqués à trouver. J'essaierai d'en parler si je trouve le temps.
Avec le recul, on se rend compte que l'exemple que j'avais donné plus haut était seulement dans $L^{3/2}$ (environ). Pour avoir $f \in L^2$ on pouvait essayer de modifier en regardant les sphères balayés $S(te_3,t)$ pour $t \in [0,1]$ et se restreindre à cette zone. Mais les calculs sont compliqués quand $t \to 0$ et donc $t \in [1,2]$ marche mieux. En faisant tout ça on a quand même $f \in L^{2-\varepsilon}$ et on modifie logarithmiquement pour faire converger l'intégrale dans $L^2$.
Quelle est la finalité de tout ça au fait ? Ç'a une utilité d'étudier les fonctions $u$ et $\|u(t,\cdot)\|_\infty$ ?
La question est d'étudier les solutions $(u,\partial_t u)$ de $(\partial_t^2-\Delta u)=0$ (en dimension $d \geqslant 2$) ayant pour données initiales $(u(0),\partial_tu(0))=(u_0,u_1) \in H^s \times H^{s-1}$ (espaces de Sobolev). Strichartz affirme (entre autres) que
$$\|u\|_{L^p_t([0,T],L^q_x)} \lesssim _T \|(u_0,u_1)\|_{\dot H^s \times \dot H^{s-1}}\,,
$$ dès que $s\geqslant 0$, $p\in[2,\infty]$, $q\in[2,\infty[$ satisfont la condition d'homogénéité
$$\frac{1}{p}+\frac{d}{q}=\frac{d}{2}-s
$$ et la condition supplémentaire
$$\frac{1}{p}+\frac{d-1}{2q} \leqslant \frac{d-1}{4}\,.
$$ Que se passe-t-il quand $q=\infty$, $d=3$, $s=1$ et $p=2$ ? Et bien on pourrait penser que l'inégalité est toujours vraie ... or il n'en est rien. Notre contre exemple est fait pour : prendre $(u_0,u_1)=(0,f)$ et appliquer une formule de représentation en dimension $d=3$ pour les ondes et conclure.
Un dernier mot : à quoi servent les inégalités de Strichartz ? Et bien pour le dire simplement, on remarque que la seule information $u(t) \in H^s_x$ ne donne a priori pas mieux que $u(t) \in L^q_x$ pour $q \leqslant q^*$ (exposant donné par les injections de Sobolev). Ici on fait bien mieux : quitte à regarder une norme espace-temps on peut obtenir n'importe quel exposant $q$. La répercussion majeure de cette observation est qu'on peut résoudre le problème de Cauchy (localement en temps) pour l'équation des ondes à des régularités plus faibles que ce que les injections de Sobolev seules permettent d'obtenir. L'idée clé derrière l'obtention des estimées de Strichartz est la dispersion, phénomène cher aux ondes linéaires (en dimension supérieure à $2$). On exploite ainsi une propriété fondamentale de l'équation et on ne se contente plus uniquement d'arguments d'analyse fonctionnelle.
je ne comprenais pas, mais ce soir je sais de quoi tu parles. :-)