Dérivée bornée sur ]0, 1]
Bonjour,
J'ai un problème avec une fonction dérivable f définie sur I = ]0 ; 1] à valeurs dans R et dont la dérivée admet une limite en 0. Le problème c'est qu'apparemment on peut en déduire que f' est bornée sur ]0 ; 1] et je ne vois pas pourquoi. Bien sûr si f est C1 c'est évident mais apparemment, ça n'est pas nécessaire. Pourriez-vous m'aider SVP ?
J'ai un problème avec une fonction dérivable f définie sur I = ]0 ; 1] à valeurs dans R et dont la dérivée admet une limite en 0. Le problème c'est qu'apparemment on peut en déduire que f' est bornée sur ]0 ; 1] et je ne vois pas pourquoi. Bien sûr si f est C1 c'est évident mais apparemment, ça n'est pas nécessaire. Pourriez-vous m'aider SVP ?
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Réponses
Je dirais plutôt $f:x\mapsto (x-1)^2\sin\left(\dfrac 1{(x-1)^2}\right)$.
Et c’est pourtant dans les hypothèses. Non ?
Le WE commence bien.
Merci beaucoup pour vos réponses. J'ai finalement trouvé la solution à mon problème. Effectivement, on peut juste en déduire que f' est bornée au voisinage de 0. Et avec le théorème de prolongement des applications uniformément continues et l'inégalité des accroissements finis, on en déduit que f peut être prolongée en une fonction dérivable sur [0, 1].
Bonne journée