Dérivée bornée sur ]0, 1]

Bonjour. Si $f'$ dérivée admet une limite $\textbf{finie}$ en $0$ alors est est bornée dans un voisinage à droite $]0,\alpha]$ de $0$. En revanche la fonction $f'$ restreinte au segment $[\alpha,1]$ n'a aucune raison d'être bornée. Tu peux considérer par exemple le cas $f:x\mapsto (x-1)^2\sin\left(\dfrac 1{(x-1)^2}\right)$ (qui te posera un souci en $1$). Enfin si j'ai bien compris ton souci... (Edit : correction du carré dans le sinus suite à la remarque de Calli ci-dessous).

Zargh je me suis fait griller dans mon edit ! Merci Calli!

Non Dom, l'exemple de dedekind93 est dérivable en 1 (faire un DL ou revenir au taux d'accroissement). Le "problème" c'est que la dérivée n'est pas bornée au voisinage de 1.