Séries entières sur le cercle de convergence
dans Analyse
Bonjour à tous
Je réfléchis actuellement à des questions sur les séries entières.
Soient $f(x) = \sum a_n x^n$ et $g(x) = \sum b_n x^n$ deux séries entières à coefficients dans $\mathbb{C}$ de même rayon de convergence $R \in ]0, + \infty[$. On note $S^R$ le cercle de centre $0$ et de rayon $R$. On note $C_1 = \{ z \in S^R\mid \sum a_n z^n \text{ existe} \}$, $C_2 = \{ z \in S^R\mid \sum b_n z^n \text{ existe} \}$. Autrement dit, $C_1$ (respectivement $C_2$) correspond à l'ensemble des points du cercle de convergence en lesquels $f$ (respectivement $g$) est définie.
On sait que si $f$ et $g$ sont définies et coïncident sur tout $S^R$, alors $f=g$. Il en est de même si $f$ et $g$ coïncident sur un arc de $S^R$ de longueur non nulle.
Je me pose en revanche les questions suivantes.
1) Est-ce que si $f$ et $g$ sont définies aux mêmes points sur $S^R$ (autrement dit $C_1 = C_2$), coïncident en ces points et si $\text{Card}(C_1) = + \infty$, alors on a forcément $f=g$ (autrement dit $a_n = b_n$ pour tout $n$)?
2) Y a-t-il une structure particulière pour $C_1$ ? Autrement dit, si je prends $R>0$ quelconque et un ensemble $A$ de points quelconques de $S^R$, est-ce qu'il existe une série entière $h(x) = \sum c_n x^n$ de rayon de convergence $R$ telle que l'ensemble des points de $S^R$ en lesquels $h$ est définie soit exactement $A$ ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide !
Je réfléchis actuellement à des questions sur les séries entières.
Soient $f(x) = \sum a_n x^n$ et $g(x) = \sum b_n x^n$ deux séries entières à coefficients dans $\mathbb{C}$ de même rayon de convergence $R \in ]0, + \infty[$. On note $S^R$ le cercle de centre $0$ et de rayon $R$. On note $C_1 = \{ z \in S^R\mid \sum a_n z^n \text{ existe} \}$, $C_2 = \{ z \in S^R\mid \sum b_n z^n \text{ existe} \}$. Autrement dit, $C_1$ (respectivement $C_2$) correspond à l'ensemble des points du cercle de convergence en lesquels $f$ (respectivement $g$) est définie.
On sait que si $f$ et $g$ sont définies et coïncident sur tout $S^R$, alors $f=g$. Il en est de même si $f$ et $g$ coïncident sur un arc de $S^R$ de longueur non nulle.
Je me pose en revanche les questions suivantes.
1) Est-ce que si $f$ et $g$ sont définies aux mêmes points sur $S^R$ (autrement dit $C_1 = C_2$), coïncident en ces points et si $\text{Card}(C_1) = + \infty$, alors on a forcément $f=g$ (autrement dit $a_n = b_n$ pour tout $n$)?
2) Y a-t-il une structure particulière pour $C_1$ ? Autrement dit, si je prends $R>0$ quelconque et un ensemble $A$ de points quelconques de $S^R$, est-ce qu'il existe une série entière $h(x) = \sum c_n x^n$ de rayon de convergence $R$ telle que l'ensemble des points de $S^R$ en lesquels $h$ est définie soit exactement $A$ ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide !
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Réponses
Les sommes partielles forment une suite de fonctions continues sur le cercle, l'ensemble des points de convergence est donc un borélien de ce cercle, il ne peut donc pas être quelconque. De la même façon il doit être possible de caractériser topologiquement ($G_\delta$, $F_\sigma$ etc) l'ensemble des points de convergence.
Quant à caractériser quels sont les ensembles du cercle unité qui sont des ensembles de convergence de séries entières je ne suis pas sûr que la réponse complète soit connue.
https://www.ams.org/journals/proc/1962-013-01/S0002-9939-1962-0133462-4/S0002-9939-1962-0133462-4.pdf
https://www.ams.org/journals/proc/1981-082-04/S0002-9939-1981-0614885-5/S0002-9939-1981-0614885-5.pdf
Désolé pour cette réponse tardive: je n’ai pas réussi à me connecter à internet depuis plusieurs jours (et quand j’ai réussi hier j’avais d’abord des mails en retard à regarder).
@side oui j’ai effectivement oublié l’hypothèse de continuité sur le disque fermé.
Merci à tous pour vos réponses!