Distributions par rapport à la norme infinie
Bonjour,
sait-on caractériser les distributions $T : \mathcal D([-1,1]) \longrightarrow \mathbf C$ telles que :
$$\exists C \ge 0, \ \forall \varphi \in \mathcal D([-1,1]), \quad \langle T, \varphi \rangle \le C \Vert \varphi \Vert_{\infty}\qquad
?
$$ (si $T=T_f : \varphi \mapsto \int f\varphi$ avec $f \in L^1([-1,1])$, ça fonctionne, mais ce ne sont pas les seules, car n'importe quel Dirac convient tout aussi bien).
En fait je viens de me rendre compte que cela revient à chercher le dual de $ \mathcal D([-1,1])$ pour la norme infinie.
sait-on caractériser les distributions $T : \mathcal D([-1,1]) \longrightarrow \mathbf C$ telles que :
$$\exists C \ge 0, \ \forall \varphi \in \mathcal D([-1,1]), \quad \langle T, \varphi \rangle \le C \Vert \varphi \Vert_{\infty}\qquad
?
$$ (si $T=T_f : \varphi \mapsto \int f\varphi$ avec $f \in L^1([-1,1])$, ça fonctionne, mais ce ne sont pas les seules, car n'importe quel Dirac convient tout aussi bien).
En fait je viens de me rendre compte que cela revient à chercher le dual de $ \mathcal D([-1,1])$ pour la norme infinie.
Réponses
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Je crois que cela revient également à chercher le dual (pour la norme infinie) de l'espace des fonctions continues sur $[-1,1]$ qui s'annulent en $\{-1,1\}$.
(car $\mathcal D([-1,1])$ devrait être dense dans cet espace). -
Bonjour,
C'est quoi $\cal D$ d'un truc qui n'est pas ouvert ? -
On va dire que $\mathcal D([-1,1])$ est l'espace des fonctions définies sur $[-1,1]$, indéfiniment différentiables et à support dans $]-1,1[$...
Donc on peut dire que $\mathcal D([-1,1])=\mathcal D(]-1,1[)$... :-D -
D'ailleurs pour ne pas s'arrêter en si bon chemin (est-ce ironique ? 8-)):
si on note $C([-1,1])$ l'espace des fonctions continues sur $[-1,1]$ muni de la norme infinie et que l'on note $F:=\{f\in C([-1,1]) \mid f(-1)=f(1)=0\}$ le sous-espace fermé dont je parlais avant, alors on a l'application linéaire de restriction $$\Phi: C([-1,1])'\to F', \phi \mapsto \phi |_F.$$
Cette application linéaire est surjective (par Hahn-Banach) et induit donc un isomorphisme par passage au quotient, on a donc : $F' \simeq C([-1,1])'/\ker\Phi$
Or $\ker\Phi$ est facile à déterminer : on constate que les deux Dirac $\delta_{-1}$ et $\delta_{1}$ sont dans $\ker \Phi$. De plus $F=\ker \delta_{-1} \cap \ker \delta_{1}$ et par suite, $\ker \Phi=<\delta_{-1},\delta_{1}>$ le sous-espace engendré par $\delta_{-1},\delta_{1}$.
Donc $F' \simeq C([-1,1])'/<\delta_{-1},\delta_{1}>$.
Bon pas sûr que ça rende $F'$ plus "familier"... -
Désolé pour la notation, en fait par $\mathcal D([-1,1])$ j'entendais $\mathcal D(\mathbf R) \cap \{\mathrm{supp}(\varphi) \subset [-1,1]\}$
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Soit $X$ un espace topologique séparé et localement compact. Pour tout forme linéaire $\Phi$ sur ${\cal C}_0(X)$, il existe une mesure borélienne signée $\mu$ sur $X$ telle que : $$\forall f\in{\cal C}_0(X),\qquad \Phi(f) = \int_X f\,{\rm d}\mu.$$
${\cal C}_0(X)$ désigne l'ensemble des fonctions $f:X\to\Bbb R$ nulles à l'infini (pour tout $\varepsilon >0$, il existe un compact de $X$ en dehors duquel $|f(x)|<\varepsilon$). La mesure $\mu$ est unique si on demande je ne sais quelle hypothèse de régularité sur $\mu$, mais peu importe.
Dans le cas présent, ${\cal D}([-1,1]) \cong {\cal C}^\infty(]-1,1[) \cap{\cal C}_0(]-1,1[)$ (le "$\cong$" c'est la bijection évidente $f\mapsto f_{|]-1,1[}$). Donc, par densité, on peut prolonger la distribution $T$ de l'énoncé sur ${\cal C}_0(]-1,1[)$. Donc il existe une mesure signée $\mu_T$ sur $]-1,1[$ telle que : $$\forall \varphi\in{\cal D}([-1,1]),\qquad \langle T,\varphi\rangle =\int_{]-1,1[} \varphi\,{\rm d}\mu_T.$$ Réciproquement toute fonction de la forme $T_\mu :\varphi\in {\cal D}([-1,1]) \mapsto \displaystyle \int_{]-1,1[} \varphi\,{\rm d}\mu$, avec $\mu$ une mesure signée, est une "distribution" qui vérifie le critère demandé.
Edit : Voilà une référence pour le théorème : https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz–Markov–Kakutani_representation_theorem#The_representation_theorem_for_the_continuous_dual_of_C0(X. -
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Le pistolet d'Indiana, c'est une allégorie pour le théorème de Riesz-Markov ? (:D
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@Calli merci pour ce théorème que je ne connaissais pas.
Mais toutes les mesures signées sur $]-1,1[$ ne conviennent pas, si ? J'ai envie de dire $\langle T, \varphi \rangle \le (\int_{]-1,1[} \mathrm d|\mu|) \Vert \varphi \Vert_\infty$, mais l'intégrale n'est pas toujours finie.
Par exemple, si $\mathrm d \mu = \frac{\mathrm dx}{1-x^2}$ -
Ce que j'appelle "mesure signée" est à valeurs dans $\Bbb R$, donc* de masse totale finie ($|\mu|(X)<+\infty$, $X$ étant l'espace entier). Autrement, on peut aussi appeler "mesure signée" des mesures à valeurs dans $\overline{\Bbb R}$ et de masse totale pas forcément finie, mais ce n'est pas le cas là.
*(implication non triviale) -
D'accord merci
-
Au passage, je signale qu'il y a un autre théorème de Riesz-Markov.Soit $X$ un espace topologique séparé et localement compact. Pour tout forme linéaire positive $\Phi$ sur ${\cal C}_c(X)$, il existe une mesure borélienne positive $\mu$ sur $X$ telle que $\mu$ est finie sur les compacts et : $$\forall f\in{\cal C}_c(X),\qquad \Phi(f) = \int_X f\,{\rm d}\mu.$$
${\cal C}_c(X)$ est l'ensemble des fonctions continues $X\to\Bbb R$ à support compact et "$\Phi$ positive" signifie : $\forall f\in {\cal C}_c(X), \; f\geqslant 0\Rightarrow \Phi(f) \geqslant 0$. Le second théorème que j'ai écrit implique le premier (et peut-être l'implication contraire est aussi vraie, je ne sais pas). -
Ah oui, j'ai eu vent de cette version en cours...
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