Distributions par rapport à la norme infinie

Bonjour,
C'est quoi $\cal D$ d'un truc qui n'est pas ouvert ?

D'ailleurs pour ne pas s'arrêter en si bon chemin (est-ce ironique ? 8-)):

si on note $C([-1,1])$ l'espace des fonctions continues sur $[-1,1]$ muni de la norme infinie et que l'on note $F:=\{f\in C([-1,1]) \mid f(-1)=f(1)=0\}$ le sous-espace fermé dont je parlais avant, alors on a l'application linéaire de restriction $$\Phi: C([-1,1])'\to F', \phi \mapsto \phi |_F.$$
Cette application linéaire est surjective (par Hahn-Banach) et induit donc un isomorphisme par passage au quotient, on a donc : $F' \simeq C([-1,1])'/\ker\Phi$

Or $\ker\Phi$ est facile à déterminer : on constate que les deux Dirac $\delta_{-1}$ et $\delta_{1}$ sont dans $\ker \Phi$. De plus $F=\ker \delta_{-1} \cap \ker \delta_{1}$ et par suite, $\ker \Phi=<\delta_{-1},\delta_{1}>$ le sous-espace engendré par $\delta_{-1},\delta_{1}$.

Donc $F' \simeq C([-1,1])'/<\delta_{-1},\delta_{1}>$.

Bon pas sûr que ça rende $F'$ plus "familier"...

Théorème de représentation de Riesz-Markov a écrit:

Soit $X$ un espace topologique séparé et localement compact. Pour tout forme linéaire $\Phi$ sur ${\cal C}_0(X)$, il existe une mesure borélienne signée $\mu$ sur $X$ telle que : $$\forall f\in{\cal C}_0(X),\qquad \Phi(f) = \int_X f\,{\rm d}\mu.$$

${\cal C}_0(X)$ désigne l'ensemble des fonctions $f:X\to\Bbb R$ nulles à l'infini (pour tout $\varepsilon >0$, il existe un compact de $X$ en dehors duquel $|f(x)|<\varepsilon$). La mesure $\mu$ est unique si on demande je ne sais quelle hypothèse de régularité sur $\mu$, mais peu importe.

Dans le cas présent, ${\cal D}([-1,1]) \cong {\cal C}^\infty(]-1,1[) \cap{\cal C}_0(]-1,1[)$ (le "$\cong$" c'est la bijection évidente $f\mapsto f_{|]-1,1[}$). Donc, par densité, on peut prolonger la distribution $T$ de l'énoncé sur ${\cal C}_0(]-1,1[)$. Donc il existe une mesure signée $\mu_T$ sur $]-1,1[$ telle que : $$\forall \varphi\in{\cal D}([-1,1]),\qquad \langle T,\varphi\rangle =\int_{]-1,1[} \varphi\,{\rm d}\mu_T.$$ Réciproquement toute fonction de la forme $T_\mu :\varphi\in {\cal D}([-1,1]) \mapsto \displaystyle \int_{]-1,1[} \varphi\,{\rm d}\mu$, avec $\mu$ une mesure signée, est une "distribution" qui vérifie le critère demandé.

Edit : Voilà une référence pour le théorème : https://en.wikipedia.org/wiki/Riesz–Markov–Kakutani_representation_theorem#The_representation_theorem_for_the_continuous_dual_of_C0(X.

Le pistolet d'Indiana, c'est une allégorie pour le théorème de Riesz-Markov ? (:D

Ce que j'appelle "mesure signée" est à valeurs dans $\Bbb R$, donc* de masse totale finie ($|\mu|(X)<+\infty$, $X$ étant l'espace entier). Autrement, on peut aussi appeler "mesure signée" des mesures à valeurs dans $\overline{\Bbb R}$ et de masse totale pas forcément finie, mais ce n'est pas le cas là.

*(implication non triviale)

Au passage, je signale qu'il y a un autre théorème de Riesz-Markov.

L'autre théorème de représentation de Riesz-Markov a écrit:

Soit $X$ un espace topologique séparé et localement compact. Pour tout forme linéaire positive $\Phi$ sur ${\cal C}_c(X)$, il existe une mesure borélienne positive $\mu$ sur $X$ telle que $\mu$ est finie sur les compacts et : $$\forall f\in{\cal C}_c(X),\qquad \Phi(f) = \int_X f\,{\rm d}\mu.$$

${\cal C}_c(X)$ est l'ensemble des fonctions continues $X\to\Bbb R$ à support compact et "$\Phi$ positive" signifie : $\forall f\in {\cal C}_c(X), \; f\geqslant 0\Rightarrow \Phi(f) \geqslant 0$. Le second théorème que j'ai écrit implique le premier (et peut-être l'implication contraire est aussi vraie, je ne sais pas).

Calli a écrit:

Le pistolet d'Indiana, c'est une allégorie pour le théorème de Riesz-Markov ?

Yes (:D