Point fixe d'une application croissante

Evidemment @Oshine tu peux te poser la question suivante:
La suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ converge-t-elle? Si oui vers quoi?

La fonction $f$ est croissante, donc la suite $u_n$ est ... et vu qu'elle est bornée elle ...

Elle converge vers son point fixe ?
Peut-on savoir pourquoi ? :-) Parce que ça ne m'a pas l'air démontré dans ton message.

bd2017 n'a pas été hyper gentil avec la deuxième partie de sa question, mais bon, en maths, on n'affirme sans preuve ;-)

Oui elle converge mais pas forcément vers le point fixe de $f$, on s'est laissés prendre par l’enthousiasme. OShine Oublie cet argument, ton exo donnait l'argument correct.

PS. bd2017 l'argument avec la suite ne marche pas forcément prendre la fonction croissante $f:x\mapsto \dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$ si $x\in [0,2/3[$ et $1$ sinon. C'était un piège pour OShine ? (:D

Bonjour
Non il n' y a pas de piège du tout et je ne suis pas tombé dedans X:-( .
C'est une simple petite démarche scientifique. Je pose une question comme ça et laisse à @Oshine le soin d'y réfléchir.

Mais bon la question est tout de même posée à quelqu'un qui veut passer l'agrégation alors j'e n'ai pas envie de me casser la tête à formuler la question comme si c'était un gamin de terminale.

supp

supp

Perso pour donner une réponse je définirai par $A$ l'ensemble des points fixes de $f$ (qui est non vide) et un l'ensemble $B$ des points que je qualifierai de points pseudo-fixes c'est-à-dire $u \in B$ ssi il existe une suite $(x_n)$ qui tend vers $u$ par valeur inférieure et telle que $f(x_n)$ tend vers $u$ et $u\notin A$.
Alors la suite définie par $x_0=0$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ converge vers $l=\inf (A\cup $

(À vérifier).

supp

Je pense que la démonstration de l'existence d'un point fixe ne se fait pas au moyen des suites $u_{n+1}=f(u_n)$ mais au moyen des bornes supérieures, comme par exemple dans la référence que j'ai donnée. En voici une autre :
https://math.stackexchange.com/questions/2700152/fixed-point-of-a-monotone-on-0-1
Si $f$ est une application croissante (au sens large) de $[0,1]$ dans $[0,1],$ une suite $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $u_0 \in [0,1]$, est toujours définie, monotone, donc convergente, mais sa limite n'est pas nécessairement un point fixe de $f$ lorsque $f$ n'est pas continue, même si $f$ est strictement croissante.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Quand on attaque ce problème avec un dessin, on est amené tout naturellement à supposer $f(0)>0$ et à considérer l'ensemble $A$ des $x \in [0,1]$ tels que $f(x)>x$ et la borne supérieure de cet ensemble. Ceci me semble très naturel et comme dit à peu près side, la démonstration est très connue depuis longtemps. Maintenant effectivement on peut mettre des suites là-dedans, je n'ai rien contre, je n'ai pas comparé les démonstrations dans le détail. Des goûts et des couleurs, on ne discute pas

A part ça, il me semble que j'ai trouvé un exemple d'application $f$ strictement croissante de $[0,1]$ dans$[0,1]$ ayant un seul point fixe $\alpha$, et telle que pour tout $x \in [0,1]\backslash \{\alpha \}$, la suite définie par $u_0=x$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ n'ait pas pour limite $\alpha$.

Bonne soirée.
Fr. Ch.