Limite indéterminée

cyril clavaud
cyril clavaud
dans Analyse
Bonjour messieurs / dames.
Je n'arrive pas à lever une indétermination pour un calcul de limite quand x tend vers l'infini
f(x) = pi*x - 4x*atan((x-2)/x).
Là comme ça, j'ai : (pi * l'infini) - (pi * l'infini), quand x tend vers l'infini.
Ma bonne calculatrice elle, me donne 4.
Je ne sais pas quoi mettre en facteur pour lever l'indétermination... ni que faire.

Pourriez-vous m'aider, à trouver la recette que je dois appliquer ? ou bien m'en donner la liste ?
Faut-il que j'exprime tout sous forme de atan... ou bien est-ce beaucoup plus trivial ?
À bientôt.

Réponses

  • sevaus
    sevaus
    Tu peux écrire $\arctan(\frac{x-2}{x}) = \arctan(1 - \frac{2}{x})$ et utiliser un développement de Taylor
  • cyril clavaud
    cyril clavaud
    merci Sevaus.
    Je ne sais pas utiliser le développement de Taylor. Peux-tu m`apprendre à le faire ?
    J'ai regardé un peu sur internet de quoi il s'agit quand même.
    Il me semble qu`il est question de calculer des approximations de fonctions en faisant en gros la somme de leurs dérivées $n$-iemes.
    Est-ce bien cela ?

    En quoi, une telle approximation me serrait-elle plus favorable que de poser, peut-être ...
    $\lim\limits_{x \to +\infty} \arctan(1-\frac{2}{x}) = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\pi}{4}(1-\frac{2}{x}).$
    Tout à fait injustement ! Parce-que cela ne m`aide pas à trouver la limite que je cherche.
    La limite est bonne, mais pas la variation de croissance... je ne vois que ça.
    Je suis dans le dur là.

    Proposes-tu d`approximer ce monôme : $\arctan(1-\frac{2}{x})$ en quelque chose de plus joufflu ?
    Par où je commence ?! Je dérive $n$ fois ?

    Bien a toi / vous
  • P.
    P.
    D'apres le cours de mathematiques du premier trimestre a l'universite $$\frac{1}{1+y^2}=\frac{d}{dy}\mathrm{arctg}(y),\ \ \mathrm{arctg}(1)-\mathrm{arctg}(1-h)=h\frac{d}{dy}\mathrm{arctg}(c) $$ avec $1-h<c<1$ (formule des accroissement finis). Donc, en posant $x=2/h,$ on a
    $$x\left(\frac{\pi}{4}-\mathrm{arctg}(1-\frac{2}{x})\right)=\frac{2}{1+c^2}\rightarrow _{x\to \infty}1.$$
  • ev
    ev
    Bonjour Cyril

    Quelle est la limite en $+\infty$ de $\dfrac{\arctan\left( 1 - \frac2x \right) - \arctan(1)}{- \frac2x }$ ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • cyril clavaud
    cyril clavaud
    e.v

    d`apres notre ami P.
    $\ \ \mathrm{arctg}(1)-\mathrm{arctg}(1-h)=h\frac{d}{dy}\arctan(c)$
    et
    $\frac{1}{1+y^2}=\frac{d}{dy}\arctan(y)$.

    Donc j`oserai : $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\arctan(1-\frac{2}{x})-\arctan(1)}{-\frac{2}{x}} = \lim\limits_{x\to\infty} \frac{\arctan(1)-\arctan(1-\frac{2}{x})}{\frac{2}{x}} = \lim\limits_{x\to\infty} {\frac{-\frac{2}{x}\arctan(c)'}{\frac{2}{x}}} = \lim\limits_{x\to\infty} - \arctan(c)'$

    Mais aucune idée de ce que vaut $c$ cependant.
  • bisam
    bisam
    E.v. te proposait une méthode qui n'utilise que des connaissances de Terminale et la dérivée de la fonction arctangente...
    Visiblement, tu n'as aucune de ces connaissances.
  • cyril clavaud
    cyril clavaud
    En posant $h = -\frac{2}{x}$ = la pente de arctan en 1.

    $\lim\limits_{x\to\infty} \frac{\arctan(1-\frac{2}{x})-\arctan(1)}{-\frac{2}{x}} =
    \lim\limits_{h\to0}\frac{\arctan(1+h)-\arctan(1)}{h} = \arctan'(1) = \frac{1}{1+1^{2}} = \frac{1}{2}$
    $\lim\limits_{x\to\infty} \arctan(1-\frac{2}{x}) = \lim\limits_{x\to\infty} -1/x + \arctan(1)$
    Soit $f: x \mapsto \pi x-4x\arctan(1-\frac{2}{x})$

    $\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = \pi x-4x\big(-1/x + \arctan(1)\big) = \pi x + 4 - 4x\frac{\pi}{4} = \pi x + 4 - \pi x = 4$
    Merci infiniment !
  • bisam
    bisam
    La première ligne d'égalités de limites est correcte... mais les suivantes ne le sont pas du tout.

    Essaie de réécrire $f(x)$ simplement comme un nombre en facteur du quotient proposé par e.v.
  • cyril clavaud
    cyril clavaud
    $e: x\mapsto \frac{\arctan(1-\frac{2}{x})-\arctan(1)}{-\frac{2}{x}} $ merci e.v
    et

    $f: x\mapsto (\pi x-4x\arctan(1-\frac{2}{x}))$

    Trouvons $g$ tel que $f=g . e $ en gardant en tête que $\lim\limits_{x\to\infty} e(x) = \frac{1}{2}$

    $g = \frac{f}{e}$


    $g = \frac{\pi x-4x\arctan(1-\frac{2}{x}) }{\frac{\arctan(1-\frac{2}{x})-\arctan(1)}{-\frac{2}{x}}} $

    $g = \frac{ \pi x-4x\arctan(1-\frac{2}{x}) }{\frac{x(\arctan(1)-\arctan(1-\frac{2}{x}))}{2}} = \frac{ 2\pi x-8x\arctan(1-\frac{2}{x}) }{x(\arctan(1)-\arctan(1-\frac{2}{x}))} $


    $g= \frac{ 2\pi -8\arctan(1-\frac{2}{x}) }{\arctan(1)-\arctan(1-\frac{2}{x})} = \frac{ 2\pi -8\arctan(1-\frac{2}{x}) }{\frac{pi}{4} -\arctan(1-\frac{2}{x})}
    = \frac{ 2\pi -8\arctan(1-\frac{2}{x}) } {\frac{pi-4\arctan(1-\frac{2}{x})}{4} }$

    $g= \frac{8\pi-32\arctan(1-\frac{2}{x})}{pi-4\arctan(1-\frac{2}{x})}
    = 8 \frac{pi-4\arctan(1-\frac{2}{x}) }{pi-4\arctan(1-\frac{2}{x}) } = 8$

    $f=8.e$

    Finalement $\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=8 *e(x) $

    Et donc $\lim\limits_{x\to\infty} f(x) = 8.\lim\limits_{x\to\infty} e(x) = \frac{8}{2} = 4$

    Excellent ! j`adore le fait que g soit une constante ! Que sont $e$ $g$ et $f$ l`un par rapport a l`autre ?

    Pourquoi utiliser $\lim\limits_{x\to\infty} \arctan(1-\frac{2}{x}) = \lim\limits_{x\to\infty} -1/x + \arctan(1)$ est incorrect ?

    merci Bisam.
  • bisam
    bisam
    Bon, ce que tu as écrit est un peu tiré par les cheveux, mais c'est correct (du moins, pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $e(x)\neq0$).

    Quant à ta deuxième question, tu as raison, ces deux limites sont égales... mais ce que tu en faisais ensuite n'étais pas correct. Tu avais écrit des limites de fonctions de $x$ qui contenaient encore des $x$ et fait des simplifications qui n'avaient pas lieu d'être.

    De manière générale, tu peux retenir qu'il vaut mieux transformer l'écriture d'une expression jusqu'à ce que l'on puisse déterminer la limite de chaque morceau et appliquer les opérations usuelles (somme, produit, quotient, composée) sur les limites.
    Si tu commences par écrire "limite(machin) = limite(truc) = limite(bidule1) + limite(bidule2)...", il y a de fortes chances qu'à un moment donné tu aboutisses à un cas que tu ne sais pas déterminer, et en plus, tu auras écrit plein de fois "limite" sans que ce soit nécessaire.
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