Fonction $\phi$-dérivable

marco · September 2020

Bonjour

Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ (non supposée dérivable). On suppose qu'il existe $g$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$, et $\phi$ une fonction de $\R$ dans $\R$ (seulement supposée continue en $0$ et non identiquement nulle au voisinage de $0$, c'est-à-dire qu'il n'existe pas de voisinage $V$ de $0$ tel que $\phi$ restreint à $V$ soit identiquement nulle) avec $\phi (0)=0$, tels que pour tout $x \in \R$, la fonction $$\forall h \in \R,\qquad h \longmapsto f(x+h)-f(x)-g(x)\phi (h)$$ est un $o (h)$.
Alors est-ce que $f$ est dérivable, et est-ce qu'il existe $\alpha \in \R^*$ tel que $f'=\alpha g$ ?

Merci d'avance.

zephir · September 2020

Bonjour
La réponse est non. Il y a un contre-exemple en utilisant la suite $\Big(\dfrac 1 {n+1}\Big)_{n\in\N}$. On trouve une fonction pas dérivable en $0$.

Zig · September 2020

Bonjour

Si $g$ n'est pas la fonction nulle, alors $f$ est dérivable ssi l'application définie sur $\mathbb{R}^{*}$ par $h\mapsto\frac{\Phi\left(h\right)}{h}$ admet une limite réelle $\alpha$ en $0$ (bref, si $\Phi$ est dérivable en $0$ !),
et on a alors bien $f'=\alpha g$

Si $g$ est la fonction nulle, alors $f$ est constante ...

marco · September 2020

Merci Zephir, est-ce que tu pourrais m'expliquer quel est le contre-exemple ?
Merci Zig, je n'avais pas remarqué l'équivalence. Mais est-ce qu'il existe des fonctions $f,g,\phi$ vérifiant les hypothèses avec $\phi$ non dérivable en $0$ et donc $f$ non dérivable ?

Fonction $\phi$-dérivable

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