Valeurs propres des puissances d'une matrice

7Thomas7 · September 2020

Bonjour j'aimerais savoir par où démarrer pour prouver que si les valeurs propres de A dans M_n(R) sont {a₁, ..., a_p} alors les valeurs propres de A^k sont {a₁^k, ..., a_p^k}
Merci de votre aide.

GaBuZoMeu · September 2020

Démarre par la définition.
En fait : si $a_1,\ldots,a_p$ sont les valeurs propres de $A$, alors $a_1^k,\ldots,a_p^k$ sont des valeurs propres de $A$ (mais pas forcément toutes les valeurs propres).

Exemple : quelles sont les valeur propres de $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\in M_2(\R)$ ? Les valeurs propres de $A^2$ ?