Opérateur compact

Bonjour,
j'aurais besoin d'aide pour la question 2) de cet exercice.

Notation :
$\hat{f}=\mathcal{F}(f)$ désigne la transformée de fourrier de f et $(1+\lvert D \rvert^2)^{-s/2}f=\mathcal{F}^{-1}(t \rightarrow (1+\lvert t \rvert^2)^{-s/2}\hat{f}(t))$
1) Montrer que si $(g_n) \in (L^2(R^d))^{\N}$ telle que $(g_n)$ converge vers $0$ (dans $L^2$) et $\mathrm{supp}(\hat{g_n}) \subset B_R$ pour une certaine boule $B_R$, alors $||g_n||_{L^{\infty}(B_p)}$ converge vers $0$ pour tout $p$.

2) Montrer que pour tout $s>0$ l'opérateur $f \rightarrow (1+\lvert x \rvert^2)^{-s/2}(1+\lvert D \rvert^2)^{-s/2}f$ qui va de $L^2(R^d)$ vers $L^2(R^d)$ est un opérateur compact.
J'ai voulu appliquer le théorème d'Ascoli, donc par linéarité de notre opérateur j'ai pris une suite $(f_n)$ qui converge vers $0$ dans $L^2$, mais je n'arrive pas à montrer l'équi-continuité.

$||(1+\lvert x \rvert^2)^{-s/2}(1+\lvert D \rvert^2)^{-s/2}f_n||_{L^2(R^d)} \leq \ldots $
Merci !