Invariance de l'équation d'Euler-Lagrange

OliNewton2Mex · September 2020

Bonjour
Supposons que $\psi:[t_{0},t_{1}]\longrightarrow{\mathbb{R}}$ est différenciable avec dérivée continue et que sa dérivée n'est jamais nulle, et soient $\psi(t_{0})=x_{0},\ \psi(t_{1})=x_{1}$. Si on considère le changement de variable $x=\psi(t)$, la fonctionnelle
$$J(y)= \int_{x_{0}}^{x_{1}}f(x,y,y')dx
\qquad\text{devient}\qquad
K(Y)= \int_{t_{0}}^{t_{1}}f(\psi(t),Y,\dot Y)\psi '(t)dt,
$$ où, pour $Y(t)=y(\psi(t))$, $\dot Y$ dénote $\frac{dY}{dt}$.
Si maintenant on met $F(t,Y,\dot Y)=f(\psi(t),Y,\dot Y)\psi'(t)dt$, alors pourquoi on a que $\displaystyle \frac{d}{dt} \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}} - \frac{{\partial F}}{{\partial Y}} = \psi ' \left( \frac{d}{dx} \frac{{\partial f}}{{\partial y'}} - \frac{{\partial f}}{{\partial y}} \right) $ ?
D'après mes calculs, j'ai :
$\displaystyle \frac{{\partial F}}{{\partial Y}}= \frac{{\partial f}}{{\partial y}} \cdot{\psi '}$
$\displaystyle \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}}= \frac{{\partial f}}{{\partial y'}} \cdot{\psi '}$
Et à partir de cette dernière équation, j'ai eu
$ \displaystyle \frac{d}{dt} \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}} = (\psi ')^{2} \frac{d}{dx} \frac{{\partial f}}{{\partial y'}} + \frac{{\partial f}}{{\partial y'}}\cdot{\psi ''}$
Cependant, lors de l'opération, cela ne me donne évidemment pas ce qu'il devrait, qu'est-ce que j'ai manqué ? :-( Je ne le vois pas.
Tout d'abord, merci. Cordialement.

YvesM · September 2020

Bonjour,

La dérivée partielle par rapport à $\dot{Y}$ égale la dérivée partielle par rapport à $y’.$

OliNewton2Mex · September 2020

Bonjour YvesM,
Veux tu dire que $ \displaystyle \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}}= \displaystyle \frac{{\partial f}}{{\partial y'}}$?

YvesM · September 2020

Bonjour,

Oui.

OliNewton2Mex · September 2020

Bonjour
Bon, si ça c'est le cas alors ça fixe tout, mais pourquoi ils sont égaux ? Où avez-vous laissé le terme $\psi '$ ?
Salutations.

talbon · September 2020

Si $K(Y)$ est issu d'un changement de variable, il me semble qu'il y a une erreur dans l'expression. Après correction tu trouves le résultat voulu.

OliNewton2Mex · September 2020

Bonjour talbon, merci pour ta réponse , quelle erreur vois-tu?

YvesM · September 2020

Bonjour,

On a $\displaystyle Y= y(\psi)$ donc $\dot{Y} = \dot{\psi} \dot{y}.$

On a $\displaystyle y' = {d \over dx} y(x) = {d \over dt} y(\psi(t)) {dt \over dx}= {1 \over \dot{\psi}} \dot{y}$ puisque $\displaystyle x = \psi(t)$ implique $\displaystyle dx = \dot{\psi} dt.$

On a donc $\displaystyle F(t,Y,\dot{Y}) = f(\psi, y(\psi), {\dot{y}(\psi)\over \dot{\psi}}) \dot{\psi}.$

Quand on calcule la dérivée partielle de $\displaystyle F = f \dot{\psi}$ par rapport à la troisème variable, on écrit :
$\displaystyle {\partial F \over \partial \dot{Y}} = {\partial (f \dot{\psi}) \over \partial ( {{\dot{y}\over \dot{\psi}}})} {\partial ({\dot{y}\over \dot{\psi}}) \over \partial (\dot{\psi} \dot{y})} = {\partial f \over \partial \dot{y}} {X \over {1\over X}} {{1 \over X} \over X} {\partial \dot{y} \over \partial \dot{y}} = {\partial f \over \partial \dot{y}} $ avec $\displaystyle X = \dot{\psi}$ pour bien montrer la simplification.

OliNewton2Mex · October 2020

Bonjour YvesM ,
Que penser alors de la fonctionnelle $J(y)=\int_{1}^{e} \sqrt{1+y'^{2}} dx$? Si on met $x=e^{t}$, alors on a que la fonctionelle devient

$ K(\dot Y)=\int_{0}^{1} \sqrt{1+\dot Y ^{2}} e^{t} dt $

Donc $F(t,Y, \dot Y)= \sqrt{1+\dot Y ^{2}} e^{t}$.
Clairement on a que $\frac{{\partial F}}{{\partial Y}}=0$, mais $
\displaystyle \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}}= \displaystyle \frac{\dot Y}{ \sqrt{1+\dot Y ^{2}}} e^{t}$
Si maintenant on dérive par rapport à $t$, on a que
$ \displaystyle \frac{d}{dt} \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}} = \frac{d}{dt} \bigg( \frac{\dot Y}{ \sqrt{1+\dot Y ^{2}}} \bigg) \cdot e^{t} + \frac{\dot Y}{ \sqrt{1+\dot Y ^{2}}} \cdot e^{t} $
Mais si nous effectuons l'opération $ \displaystyle \frac{d}{dt} \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}} - \frac{{\partial F}}{{\partial Y}}=\frac{d}{dt} \frac{{\partial F}}{{\partial \dot Y}},\ $ alors il ne nous reste rien de semblable à ce que suggère le problème, n'est-ce pas ?

YvesM · October 2020

Bonjour,

Comment définis-tu $Y$ ? Que vaut $y’=d/dx y(x)$ ?

Avec $Y(t)=y(e^t)$ tu as écrit $y’=\dot{Y}$ : peux-tu le démontrer ?

Enfin, tu de fais finir le calcul jusqu’au bout avant de conclure que ça ne convient pas. Que trouves-tu comme fonction $Y$ à l’optimum ?