Équivalent simple

Il y a un fil assez récent où un intervenant (BobbyJoe il me semble) expliquait que de façon générale
$$\sum_{n \geqslant 0} e^{-a_nt} = \int_0^{\infty}\left\vert\{n,\,; a_nt \leqslant s\}\right\vert e^{-s}\,\mathrm{d}s$$
pour toute suite $a_n$ croissante avec une hypothèse qui va bien (style $a_{n+1}/a_n \to \infty$ par exemple) ce qui donne un résultat dans ton cas ce qui donne $f(t) \sim \frac{-\log t}{\log\log(1/t)}$.