Utilité d'un exercice oral CCINP

prepaspe
prepaspe
dans Analyse
Bonjour, dans un oral CCINP, a été posé l'exercice suivant.

Soit $(u_n)_n$ une suite décroissante de réels strictement positifs. On suppose que $\lim_{n\to+\infty} u_n=0$ et que la série $\sum_n n(u_n-u_{n+1})$ converge. Alors la série $\sum_n u_n$ converge.

J'ai su faire l'exercice. Mais je n'en vois pas l'intérêt. J'ai essayé de trouver un exemple de suite $(u_n)_n$ qui vérifie les conditions de l'énoncé et telle que la série $\sum_n u_n$ converge mais où les critères de Riemann, de Cauchy, de D'Alembert, d'équivalent, de majoration ne s'appliquent pas mais où le critère de l'exercice s'applique. J'en ai été incapable.
En existe-t-il un ? Sinon, je ne comprends l’intérêt de cet exercice.

Réponses

  • Nîmes-man
    Nîmes-man
    Par exemple $\sum\limits_{n\geq 2} \dfrac{1}{n\ln^2(n)}$.
  • prepaspe
    prepaspe
    Merci pour ta réponse, mais comment fais-tu pour montrer la convergence de la série $\sum_nn\left(\frac1{n\ln^2n}-\frac1{(n+1)\ln^2(n+1)}\right)$ puisque $n\left(\frac1{n\ln^2(n)}-\frac1{(n+1)\ln^2(n+1)}\right)\underset{+\infty}{\sim}\frac1{n\ln^2(n)}$. On tourne en rond.
  • totem
    totem
    Bertrand ?
  • bisam
    bisam
    Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et si on pose $u_n=\mathbb{P}(X>n)$ pour tout $n\in\N$ alors l'énoncé présente un intérêt, non ?
    On voit également qu'il s'agit d'une question de cours, du coup...
  • prepaspe
    prepaspe
    Merci pour vos réponses:
    @Totem: le critère de Bertrand permet déjà de conclure sur la convergence $\sum\frac1{n\ln^2n}$. On n'a pas besoin de l'exercice. Donc cela n'illustre pas l’intérêt de l'exercice.

    @Bisam: Je vois bien que dans ton cas $u_{n+1}-u_n=P(X=n+1)$. Donc l'hypothèse de l'exercice est que $E(X)$ existe, la suite ($P(X=n)$ décroit vers $0$. Mais je ne vois ce qu'on peut on déduire d'intéressant. Peux-tu développer?
  • bisam
    bisam
    J'aurais dû prendre $u_n=\mathbb{P}(X>n)$, en fait, mais ça ne change pas grand chose.
    Dans le cas où $X$ est une VARD à valeurs dans $\N$, $\mathbb{E}(X)$ existe, on en déduit que la série $\displaystyle \sum_{n\geq 0}\mathbb{P}(X> n)$ converge et plus précisément on peut même démontrer qu'elle a pour somme $\mathbb{E}(X)$.

    C'est un théorème au programme de spé.
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