Application de classe $C^1$

gimax · September 2020

Bonjour

Soit $O$ un ouvert de $\R^n$. Soit $h : O \to L(\R^n,\R^n)$ et $g : O \to L(\R^k, \R^n)$ deux applications telles que, pour tout $x,\ \ker h(x)=\mathrm{im\,} g(x)$.
On suppose que $h$ est $C^1$. Est-ce que $g$ est aussi $C^1$ ?

Merci d'avance !

Math Coss · September 2020

Disons que $h$ est constante. Est-ce que toute application dont l'image est constante est $C^1$ ? Non bien sûr.

gimax · September 2020

Je ne comprends pas ce que tu dis, Math Coss, je suis désolé.

Qu'appelles-tu une application dont l'image est constante ? Je suis désolé, c'est surement évident, mais je ne comprends vraiment pas. Pour moi, une application dont l'image est constante c'est juste une application constante (enfin, je ne vois pas quel autre sens donner à ça :-S) et une telle application est bien $C^1$, je crois. Toutes les applications que je regarde dans ce cas sont soit des applications linéaires, soit définies sur des ouverts de $\R^n$...

Bref, je suis manifestement à côté de la plaque, mais là, je nage complètement...

gimax · September 2020

Ok, je crois que je vois mieux. Tu dis que si $h$ est constante toutes mes application $g(x)$ vont avoir la même image.

Mais effectivement, je ne peux même pas en conclure que $g$ est continue. D'accord.

EDIT : et merci !

Math Coss · September 2020

C'est ça. Pour prendre un exemple simple, $k=n=1$ et disons $h$ nulle. La contrainte dit que $g$ a pour image $\R$, i.e. qu'elle n'est pas nulle. La contrainte « nulle part égale à zéro » ne donne aucune condition de régularité, pas $C^1$ et, comme tu l'as dit, pas même $C^0$.

Application de classe $C^1$

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